Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4161 / 4159
↖ ↑ ↗
← S  2.767478°
E  2.856446°		 ← 4 880.79 m → S  2.767478°
E  2.900391°		 →
↑
4 880.70 m
↓
↑
4 880.70 m
↓
S  2.811371°
E  2.856446°		 ← 4 880.61 m →
23 821 228 m²		 S  2.811371°
E  2.900391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50799560546875 y=0.50775146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50799560546875 × 213)
    floor (0.50799560546875 × 8192)
    floor (4161.5)     		tx = 4161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50775146484375 × 213)
    floor (0.50775146484375 × 8192)
    floor (4159.5)     		ty = 4159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4161 / 4159 ti = "13/4161/4159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4161/4159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4161 ÷ 213
    4161 ÷ 8192     		x = 0.5079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4159 ÷ 213
    4159 ÷ 8192     		y = 0.5076904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5079345703125 × 2 - 1) × π
    0.015869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04985438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5076904296875 × 2 - 1) × π
    -0.015380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0483203948170166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04985438} λ = 0.04985438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0483203948170166))-π/2
    2×atan(0.952828456867922)-π/2
    2×0.761247362286686-π/2
    1.52249472457337-1.57079632675     		φ = -0.04830160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04985438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.856446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04830160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.767478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4161 KachelY 4159 0.04985438 -0.04830160 2.856446 -2.767478
    Oben rechts KachelX + 1 4162 KachelY 4159 0.05062137 -0.04830160 2.900391 -2.767478
    Unten links KachelX 4161 KachelY + 1 4160 0.04985438 -0.04906768 2.856446 -2.811371
    Unten rechts KachelX + 1 4162 KachelY + 1 4160 0.05062137 -0.04906768 2.900391 -2.811371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04830160--0.04906768) × R
    0.000766080000000002 × 6371000     		dl = 4880.69568000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04830160--0.04906768) × R
    0.000766080000000002 × 6371000     		dr = 4880.69568000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04985438-0.05062137) × cos(-0.04830160) × R
    0.000766990000000002 × 0.998833704496789 × 6371000     		do = 4880.79419484941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04985438-0.05062137) × cos(-0.04906768) × R
    0.000766990000000002 × 0.9987964229002 × 6371000     		du = 4880.61201857784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04830160)-sin(-0.04906768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998833704496789-0.9987964229002)×R²
    abs(0.05062137-0.04985438)×3.72815965884454e-05×R²
    0.000766990000000002×3.72815965884454e-05×6371000²
    0.000766990000000002×3.72815965884454e-05×40589641000000     		ar = 23821227.733314m²