Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4164 / 4165
↖ ↑ ↗
← S  3.030812°
E  2.988281°		 ← 4 879.66 m → S  3.030812°
E  3.032227°		 →
↑
4 879.55 m
↓
↑
4 879.55 m
↓
S  3.074695°
E  2.988281°		 ← 4 879.46 m →
23 810 046 m²		 S  3.074695°
E  3.032227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50836181640625 y=0.50848388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50836181640625 × 213)
    floor (0.50836181640625 × 8192)
    floor (4164.5)     		tx = 4164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50848388671875 × 213)
    floor (0.50848388671875 × 8192)
    floor (4165.5)     		ty = 4165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4164 / 4165 ti = "13/4164/4165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4164/4165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4164 ÷ 213
    4164 ÷ 8192     		x = 0.50830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4165 ÷ 213
    4165 ÷ 8192     		y = 0.5084228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50830078125 × 2 - 1) × π
    0.0166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05215535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5084228515625 × 2 - 1) × π
    -0.016845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.052922337180542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05215535} λ = 0.05215535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.052922337180542))-π/2
    2×atan(0.948453669208143)-π/2
    2×0.758949338123278-π/2
    1.51789867624656-1.57079632675     		φ = -0.05289765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05215535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05289765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.030812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4164 KachelY 4165 0.05215535 -0.05289765 2.988281 -3.030812
    Oben rechts KachelX + 1 4165 KachelY 4165 0.05292234 -0.05289765 3.032227 -3.030812
    Unten links KachelX 4164 KachelY + 1 4166 0.05215535 -0.05366355 2.988281 -3.074695
    Unten rechts KachelX + 1 4165 KachelY + 1 4166 0.05292234 -0.05366355 3.032227 -3.074695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05289765--0.05366355) × R
    0.0007659 × 6371000     		dl = 4879.5489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05289765--0.05366355) × R
    0.0007659 × 6371000     		dr = 4879.5489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05215535-0.05292234) × cos(-0.05289765) × R
    0.000766989999999995 × 0.998601245519606 × 6371000     		do = 4879.65828561717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05215535-0.05292234) × cos(-0.05366355) × R
    0.000766989999999995 × 0.998560457213916 × 6371000     		du = 4879.4589738351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05289765)-sin(-0.05366355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998601245519606-0.998560457213916)×R²
    abs(0.05292234-0.05215535)×4.07883056902092e-05×R²
    0.000766989999999995×4.07883056902092e-05×6371000²
    0.000766989999999995×4.07883056902092e-05×40589641000000     		ar = 23810046.1080857m²