Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4168 / 4167
↖ ↑ ↗
← S  3.118576°
E  3.164063°		 ← 4 879.26 m → S  3.118576°
E  3.208008°		 →
↑
4 879.17 m
↓
↑
4 879.17 m
↓
S  3.162455°
E  3.164063°		 ← 4 879.05 m →
23 806 208 m²		 S  3.162455°
E  3.208008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50885009765625 y=0.50872802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50885009765625 × 213)
    floor (0.50885009765625 × 8192)
    floor (4168.5)     		tx = 4168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50872802734375 × 213)
    floor (0.50872802734375 × 8192)
    floor (4167.5)     		ty = 4167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4168 / 4167 ti = "13/4168/4167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4168/4167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4168 ÷ 213
    4168 ÷ 8192     		x = 0.5087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4167 ÷ 213
    4167 ÷ 8192     		y = 0.5086669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5087890625 × 2 - 1) × π
    0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5086669921875 × 2 - 1) × π
    -0.017333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0544563179683838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05522331} λ = 0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0544563179683838))-π/2
    2×atan(0.946999874832817)-π/2
    2×0.758183451919608-π/2
    1.51636690383922-1.57079632675     		φ = -0.05442942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05442942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.118576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4168 KachelY 4167 0.05522331 -0.05442942 3.164063 -3.118576
    Oben rechts KachelX + 1 4169 KachelY 4167 0.05599030 -0.05442942 3.208008 -3.118576
    Unten links KachelX 4168 KachelY + 1 4168 0.05522331 -0.05519526 3.164063 -3.162455
    Unten rechts KachelX + 1 4169 KachelY + 1 4168 0.05599030 -0.05519526 3.208008 -3.162455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05442942--0.05519526) × R
    0.000765840000000004 × 6371000     		dl = 4879.16664000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05442942--0.05519526) × R
    0.000765840000000004 × 6371000     		dr = 4879.16664000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05522331-0.05599030) × cos(-0.05442942) × R
    0.000766990000000002 × 0.998519084781961 × 6371000     		do = 4879.25680772401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05522331-0.05599030) × cos(-0.05519526) × R
    0.000766990000000002 × 0.998477128316837 × 6371000     		du = 4879.05178773871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05442942)-sin(-0.05519526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998519084781961-0.998477128316837)×R²
    abs(0.05599030-0.05522331)×4.19564651245041e-05×R²
    0.000766990000000002×4.19564651245041e-05×6371000²
    0.000766990000000002×4.19564651245041e-05×40589641000000     		ar = 23806208.0444538m²