Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4176 / 4176
↖ ↑ ↗
← S  3.513421°
E  3.515625°		 ← 4 877.31 m → S  3.513421°
E  3.559570°		 →
↑
4 877.19 m
↓
↑
4 877.19 m
↓
S  3.557283°
E  3.515625°		 ← 4 877.08 m →
23 787 009 m²		 S  3.557283°
E  3.559570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50982666015625 y=0.50982666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50982666015625 × 213)
    floor (0.50982666015625 × 8192)
    floor (4176.5)     		tx = 4176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50982666015625 × 213)
    floor (0.50982666015625 × 8192)
    floor (4176.5)     		ty = 4176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4176 / 4176 ti = "13/4176/4176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4176/4176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4176 ÷ 213
    4176 ÷ 8192     		x = 0.509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4176 ÷ 213
    4176 ÷ 8192     		y = 0.509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509765625 × 2 - 1) × π
    0.01953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06135923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509765625 × 2 - 1) × π
    -0.01953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06135923} λ = 0.06135923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0613592315136719))-π/2
    2×atan(0.940485327117559)-π/2
    2×0.754737780770683-π/2
    1.50947556154137-1.57079632675     		φ = -0.06132077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06135923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06132077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.513421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4176 KachelY 4176 0.06135923 -0.06132077 3.515625 -3.513421
    Oben rechts KachelX + 1 4177 KachelY 4176 0.06212622 -0.06132077 3.559570 -3.513421
    Unten links KachelX 4176 KachelY + 1 4177 0.06135923 -0.06208630 3.515625 -3.557283
    Unten rechts KachelX + 1 4177 KachelY + 1 4177 0.06212622 -0.06208630 3.559570 -3.557283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06132077--0.06208630) × R
    0.00076553 × 6371000     		dl = 4877.19163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06132077--0.06208630) × R
    0.00076553 × 6371000     		dr = 4877.19163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06135923-0.06212622) × cos(-0.06132077) × R
    0.000766990000000002 × 0.998120470650342 × 6371000     		do = 4877.30898244455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06135923-0.06212622) × cos(-0.06208630) × R
    0.000766990000000002 × 0.998073264712392 × 6371000     		du = 4877.07831094551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06132077)-sin(-0.06208630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998120470650342-0.998073264712392)×R²
    abs(0.06212622-0.06135923)×4.72059379499346e-05×R²
    0.000766990000000002×4.72059379499346e-05×6371000²
    0.000766990000000002×4.72059379499346e-05×40589641000000     		ar = 23787009.1932209m²