Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4176 / 4304
↖ ↑ ↗
← S  9.102097°
E  3.515625°		 ← 4 824.96 m → S  9.102097°
E  3.559570°		 →
↑
4 824.63 m
↓
↑
4 824.63 m
↓
S  9.145486°
E  3.515625°		 ← 4 824.38 m →
23 277 249 m²		 S  9.145486°
E  3.559570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50982666015625 y=0.52545166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50982666015625 × 213)
    floor (0.50982666015625 × 8192)
    floor (4176.5)     		tx = 4176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52545166015625 × 213)
    floor (0.52545166015625 × 8192)
    floor (4304.5)     		ty = 4304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4176 / 4304 ti = "13/4176/4304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4176/4304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4176 ÷ 213
    4176 ÷ 8192     		x = 0.509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4304 ÷ 213
    4304 ÷ 8192     		y = 0.525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509765625 × 2 - 1) × π
    0.01953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06135923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525390625 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.159534001935547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06135923} λ = 0.06135923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159534001935547))-π/2
    2×atan(0.852540978860179)-π/2
    2×0.705967384936792-π/2
    1.41193476987358-1.57079632675     		φ = -0.15886156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06135923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15886156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.102097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4176 KachelY 4304 0.06135923 -0.15886156 3.515625 -9.102097
    Oben rechts KachelX + 1 4177 KachelY 4304 0.06212622 -0.15886156 3.559570 -9.102097
    Unten links KachelX 4176 KachelY + 1 4305 0.06135923 -0.15961884 3.515625 -9.145486
    Unten rechts KachelX + 1 4177 KachelY + 1 4305 0.06212622 -0.15961884 3.559570 -9.145486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15886156--0.15961884) × R
    0.000757279999999999 × 6371000     		dl = 4824.63087999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15886156--0.15961884) × R
    0.000757279999999999 × 6371000     		dr = 4824.63087999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06135923-0.06212622) × cos(-0.15886156) × R
    0.000766990000000002 × 0.987408017809851 × 6371000     		do = 4824.96265352005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06135923-0.06212622) × cos(-0.15961884) × R
    0.000766990000000002 × 0.987287937388147 × 6371000     		du = 4824.37588134513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15886156)-sin(-0.15961884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987408017809851-0.987287937388147)×R²
    abs(0.06212622-0.06135923)×0.000120080421704083×R²
    0.000766990000000002×0.000120080421704083×6371000²
    0.000766990000000002×0.000120080421704083×40589641000000     		ar = 23277249.4458487m²