Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4192 / 4193
↖ ↑ ↗
← S  4.258768°
E  4.218750°		 ← 4 873 m → S  4.258768°
E  4.262695°		 →
↑
4 872.86 m
↓
↑
4 872.86 m
↓
S  4.302591°
E  4.218750°		 ← 4 872.72 m →
23 744 769 m²		 S  4.302591°
E  4.262695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51177978515625 y=0.51190185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51177978515625 × 213)
    floor (0.51177978515625 × 8192)
    floor (4192.5)     		tx = 4192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51190185546875 × 213)
    floor (0.51190185546875 × 8192)
    floor (4193.5)     		ty = 4193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4192 / 4193 ti = "13/4192/4193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4192/4193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4192 ÷ 213
    4192 ÷ 8192     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4193 ÷ 213
    4193 ÷ 8192     		y = 0.5118408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5118408203125 × 2 - 1) × π
    -0.023681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0743980682103272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0743980682103272))-π/2
    2×atan(0.928302092730245)-π/2
    2×0.748233398441121-π/2
    1.49646679688224-1.57079632675     		φ = -0.07432953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07432953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.258768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4192 KachelY 4193 0.07363108 -0.07432953 4.218750 -4.258768
    Oben rechts KachelX + 1 4193 KachelY 4193 0.07439807 -0.07432953 4.262695 -4.258768
    Unten links KachelX 4192 KachelY + 1 4194 0.07363108 -0.07509438 4.218750 -4.302591
    Unten rechts KachelX + 1 4193 KachelY + 1 4194 0.07439807 -0.07509438 4.262695 -4.302591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07432953--0.07509438) × R
    0.000764849999999997 × 6371000     		dl = 4872.85934999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07432953--0.07509438) × R
    0.000764849999999997 × 6371000     		dr = 4872.85934999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.07439807) × cos(-0.07432953) × R
    0.000766989999999995 × 0.997238832096132 × 6371000     		do = 4873.00086156515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.07439807) × cos(-0.07509438) × R
    0.000766989999999995 × 0.997181741805174 × 6371000     		du = 4872.72189024146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07432953)-sin(-0.07509438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997238832096132-0.997181741805174)×R²
    abs(0.07439807-0.07363108)×5.70902909582394e-05×R²
    0.000766989999999995×5.70902909582394e-05×6371000²
    0.000766989999999995×5.70902909582394e-05×40589641000000     		ar = 23744769.2743729m²