Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4194 / 4130
↖ ↑ ↗
← S  1.493971°
E  4.306641°		 ← 4 884.83 m → S  1.493971°
E  4.350586°		 →
↑
4 884.77 m
↓
↑
4 884.77 m
↓
S  1.537901°
E  4.306641°		 ← 4 884.73 m →
23 861 056 m²		 S  1.537901°
E  4.350586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51202392578125 y=0.50421142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51202392578125 × 213)
    floor (0.51202392578125 × 8192)
    floor (4194.5)     		tx = 4194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50421142578125 × 213)
    floor (0.50421142578125 × 8192)
    floor (4130.5)     		ty = 4130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4194 / 4130 ti = "13/4194/4130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4194/4130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4194 ÷ 213
    4194 ÷ 8192     		x = 0.511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4130 ÷ 213
    4130 ÷ 8192     		y = 0.504150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511962890625 × 2 - 1) × π
    0.02392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07516506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504150390625 × 2 - 1) × π
    -0.00830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0260776733933105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07516506} λ = 0.07516506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0260776733933105))-π/2
    2×atan(0.9742594126352)-π/2
    2×0.772360804282319-π/2
    1.54472160856464-1.57079632675     		φ = -0.02607472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07516506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.306641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02607472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.493971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4194 KachelY 4130 0.07516506 -0.02607472 4.306641 -1.493971
    Oben rechts KachelX + 1 4195 KachelY 4130 0.07593205 -0.02607472 4.350586 -1.493971
    Unten links KachelX 4194 KachelY + 1 4131 0.07516506 -0.02684144 4.306641 -1.537901
    Unten rechts KachelX + 1 4195 KachelY + 1 4131 0.07593205 -0.02684144 4.350586 -1.537901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02607472--0.02684144) × R
    0.000766720000000002 × 6371000     		dl = 4884.77312000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02607472--0.02684144) × R
    0.000766720000000002 × 6371000     		dr = 4884.77312000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07516506-0.07593205) × cos(-0.02607472) × R
    0.000766989999999995 × 0.999660073748516 × 6371000     		do = 4884.832242653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07516506-0.07593205) × cos(-0.02684144) × R
    0.000766989999999995 × 0.999639790176627 × 6371000     		du = 4884.73312711506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02607472)-sin(-0.02684144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999660073748516-0.999639790176627)×R²
    abs(0.07593205-0.07516506)×2.02835718892125e-05×R²
    0.000766989999999995×2.02835718892125e-05×6371000²
    0.000766989999999995×2.02835718892125e-05×40589641000000     		ar = 23861056.3250755m²