Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41984 / 41985
↖ ↑ ↗
← S 45.092914°
E 50.625000°		 ← 431.24 m → S 45.092914°
E 50.630493°		 →
↑
431.19 m
↓
↑
431.19 m
↓
S 45.096791°
E 50.625000°		 ← 431.21 m →
185 938 m²		 S 45.096791°
E 50.630493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640632629394531 y=0.640647888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640632629394531 × 216)
    floor (0.640632629394531 × 65536)
    floor (41984.5)     		tx = 41984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640647888183594 × 216)
    floor (0.640647888183594 × 65536)
    floor (41985.5)     		ty = 41985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41984 / 41985 ti = "16/41984/41985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41984/41985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41984 ÷ 216
    41984 ÷ 65536     		x = 0.640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41985 ÷ 216
    41985 ÷ 65536     		y = 0.640640258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640625 × 2 - 1) × π
    0.28125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640640258789062 × 2 - 1) × π
    -0.281280517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.883668807596115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88357293} λ = 0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883668807596115))-π/2
    2×atan(0.413263941093678)-π/2
    2×0.391888257185827-π/2
    0.783776514371654-1.57079632675     		φ = -0.78701981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78701981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.092914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41984 KachelY 41985 0.88357293 -0.78701981 50.625000 -45.092914
    Oben rechts KachelX + 1 41985 KachelY 41985 0.88366881 -0.78701981 50.630493 -45.092914
    Unten links KachelX 41984 KachelY + 1 41986 0.88357293 -0.78708749 50.625000 -45.096791
    Unten rechts KachelX + 1 41985 KachelY + 1 41986 0.88366881 -0.78708749 50.630493 -45.096791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78701981--0.78708749) × R
    6.76800000000144e-05 × 6371000     		dl = 431.189280000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78701981--0.78708749) × R
    6.76800000000144e-05 × 6371000     		dr = 431.189280000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88357293-0.88366881) × cos(-0.78701981) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.705959174627294 × 6371000     		do = 431.236206640378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88357293-0.88366881) × cos(-0.78708749) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.705911238479367 × 6371000     		du = 431.206924773472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78701981)-sin(-0.78708749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705959174627294-0.705911238479367)×R²
    abs(0.88366881-0.88357293)×4.79361479268636e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79361479268636e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79361479268636e-05×40589641000000     		ar = 185938.116508752m²