Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41988 / 41988
↖ ↑ ↗
← S 45.104546°
E 50.646973°		 ← 431.10 m → S 45.104546°
E 50.652466°		 →
↑
431.13 m
↓
↑
431.13 m
↓
S 45.108423°
E 50.646973°		 ← 431.07 m →
185 853 m²		 S 45.108423°
E 50.652466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640693664550781 y=0.640693664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640693664550781 × 216)
    floor (0.640693664550781 × 65536)
    floor (41988.5)     		tx = 41988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640693664550781 × 216)
    floor (0.640693664550781 × 65536)
    floor (41988.5)     		ty = 41988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41988 / 41988 ti = "16/41988/41988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41988/41988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41988 ÷ 216
    41988 ÷ 65536     		x = 0.64068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41988 ÷ 216
    41988 ÷ 65536     		y = 0.64068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64068603515625 × 2 - 1) × π
    0.2813720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88395643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.2813720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.883956428993835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88395643} λ = 0.88395643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883956428993835))-π/2
    2×atan(0.413145094633525)-π/2
    2×0.391786743044503-π/2
    0.783573486089007-1.57079632675     		φ = -0.78722284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88395643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78722284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.104546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41988 KachelY 41988 0.88395643 -0.78722284 50.646973 -45.104546
    Oben rechts KachelX + 1 41989 KachelY 41988 0.88405230 -0.78722284 50.652466 -45.104546
    Unten links KachelX 41988 KachelY + 1 41989 0.88395643 -0.78729051 50.646973 -45.108423
    Unten rechts KachelX + 1 41989 KachelY + 1 41989 0.88405230 -0.78729051 50.652466 -45.108423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78722284--0.78729051) × R
    6.76700000000752e-05 × 6371000     		dl = 431.125570000479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78722284--0.78729051) × R
    6.76700000000752e-05 × 6371000     		dr = 431.125570000479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88395643-0.88405230) × cos(-0.78722284) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.705815363567238 × 6371000     		do = 431.103391944963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88395643-0.88405230) × cos(-0.78729051) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.70576742480443 × 6371000     		du = 431.074111534931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78722284)-sin(-0.78729051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705815363567238-0.70576742480443)×R²
    abs(0.88405230-0.88395643)×4.79387628080641e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79387628080641e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79387628080641e-05×40589641000000     		ar = 185853.383885759m²