Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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9 / 420 / 420
↖ ↑ ↗
← S 74.775843°
E115.312500°		 ← 20.531 km → S 74.775843°
E116.015625°		 →
↑
20.410 km
↓
↑
20.410 km
↓
S 74.959392°
E115.312500°		 ← 20.289 km →
416.560 km²		 S 74.959392°
E116.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8212890625 y=0.8212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8212890625 × 29)
    floor (0.8212890625 × 512)
    floor (420.5)     		tx = 420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8212890625 × 29)
    floor (0.8212890625 × 512)
    floor (420.5)     		ty = 420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 420 / 420 ti = "9/420/420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/420/420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 420 ÷ 29
    420 ÷ 512     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 420 ÷ 29
    420 ÷ 512     		y = 0.8203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8203125 × 2 - 1) × π
    -0.640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.01258279364844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.01258279364844))-π/2
    2×atan(0.133643056093768)-π/2
    2×0.132855832696167-π/2
    0.265711665392335-1.57079632675     		φ = -1.30508466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.30508466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.775843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 420 KachelY 420 2.01258279 -1.30508466 115.312500 -74.775843
    Oben rechts KachelX + 1 421 KachelY 420 2.02485464 -1.30508466 116.015625 -74.775843
    Unten links KachelX 420 KachelY + 1 421 2.01258279 -1.30828819 115.312500 -74.959392
    Unten rechts KachelX + 1 421 KachelY + 1 421 2.02485464 -1.30828819 116.015625 -74.959392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.30508466--1.30828819) × R
    0.00320353000000018 × 6371000     		dl = 20409.6896300011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.30508466--1.30828819) × R
    0.00320353000000018 × 6371000     		dr = 20409.6896300011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.02485464) × cos(-1.30508466) × R
    0.0122718499999999 × 0.262596026053888 × 6371000     		do = 20530.7962386804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.02485464) × cos(-1.30828819) × R
    0.0122718499999999 × 0.2595035789989 × 6371000     		du = 20289.0164931186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.30508466)-sin(-1.30828819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262596026053888-0.2595035789989)×R²
    abs(2.02485464-2.01258279)×0.00309244705498724×R²
    0.0122718499999999×0.00309244705498724×6371000²
    0.0122718499999999×0.00309244705498724×40589641000000     		ar = 416560210.554823m²