Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4208 / 4272
↖ ↑ ↗
← S  7.710991°
E  4.921875°		 ← 4 842.31 m → S  7.710991°
E  4.965820°		 →
↑
4 842.09 m
↓
↑
4 842.09 m
↓
S  7.754537°
E  4.921875°		 ← 4 841.81 m →
23 445 665 m²		 S  7.754537°
E  4.965820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51373291015625 y=0.52154541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51373291015625 × 213)
    floor (0.51373291015625 × 8192)
    floor (4208.5)     		tx = 4208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52154541015625 × 213)
    floor (0.52154541015625 × 8192)
    floor (4272.5)     		ty = 4272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4208 / 4272 ti = "13/4208/4272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4208/4272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4208 ÷ 213
    4208 ÷ 8192     		x = 0.513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4272 ÷ 213
    4272 ÷ 8192     		y = 0.521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513671875 × 2 - 1) × π
    0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521484375 × 2 - 1) × π
    -0.04296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.134990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08590292} λ = 0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.134990309330078))-π/2
    2×atan(0.873724378621565)-π/2
    2×0.718107066908801-π/2
    1.4362141338176-1.57079632675     		φ = -0.13458219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13458219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.710991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4208 KachelY 4272 0.08590292 -0.13458219 4.921875 -7.710991
    Oben rechts KachelX + 1 4209 KachelY 4272 0.08666991 -0.13458219 4.965820 -7.710991
    Unten links KachelX 4208 KachelY + 1 4273 0.08590292 -0.13534221 4.921875 -7.754537
    Unten rechts KachelX + 1 4209 KachelY + 1 4273 0.08666991 -0.13534221 4.965820 -7.754537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13458219--0.13534221) × R
    0.00076002 × 6371000     		dl = 4842.08742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13458219--0.13534221) × R
    0.00076002 × 6371000     		dr = 4842.08742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08590292-0.08666991) × cos(-0.13458219) × R
    0.000766990000000009 × 0.990957477892313 × 6371000     		do = 4842.30706639617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08590292-0.08666991) × cos(-0.13534221) × R
    0.000766990000000009 × 0.990855215034038 × 6371000     		du = 4841.80735962539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13458219)-sin(-0.13534221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990957477892313-0.990855215034038)×R²
    abs(0.08666991-0.08590292)×0.000102262858274971×R²
    0.000766990000000009×0.000102262858274971×6371000²
    0.000766990000000009×0.000102262858274971×40589641000000     		ar = 23445665.4466174m²