Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4216 / 4216
↖ ↑ ↗
← S  5.266008°
E  5.273438°		 ← 4 865.87 m → S  5.266008°
E  5.317383°		 →
↑
4 865.66 m
↓
↑
4 865.66 m
↓
S  5.309766°
E  5.273438°		 ← 4 865.53 m →
23 674 829 m²		 S  5.309766°
E  5.317383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51470947265625 y=0.51470947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51470947265625 × 213)
    floor (0.51470947265625 × 8192)
    floor (4216.5)     		tx = 4216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51470947265625 × 213)
    floor (0.51470947265625 × 8192)
    floor (4216.5)     		ty = 4216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4216 / 4216 ti = "13/4216/4216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4216/4216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4216 ÷ 213
    4216 ÷ 8192     		x = 0.5146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4216 ÷ 213
    4216 ÷ 8192     		y = 0.5146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5146484375 × 2 - 1) × π
    0.029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09203885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5146484375 × 2 - 1) × π
    -0.029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0920388472705078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09203885} λ = 0.09203885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0920388472705078))-π/2
    2×atan(0.912069717437839)-π/2
    2×0.739443575403292-π/2
    1.47888715080658-1.57079632675     		φ = -0.09190918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09203885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.273438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09190918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.266008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4216 KachelY 4216 0.09203885 -0.09190918 5.273438 -5.266008
    Oben rechts KachelX + 1 4217 KachelY 4216 0.09280584 -0.09190918 5.317383 -5.266008
    Unten links KachelX 4216 KachelY + 1 4217 0.09203885 -0.09267290 5.273438 -5.309766
    Unten rechts KachelX + 1 4217 KachelY + 1 4217 0.09280584 -0.09267290 5.317383 -5.309766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09190918--0.09267290) × R
    0.000763720000000009 × 6371000     		dl = 4865.66012000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09190918--0.09267290) × R
    0.000763720000000009 × 6371000     		dr = 4865.66012000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09203885-0.09280584) × cos(-0.09190918) × R
    0.000766989999999995 × 0.995779323680174 × 6371000     		do = 4865.86898348388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09203885-0.09280584) × cos(-0.09267290) × R
    0.000766989999999995 × 0.995708939186449 × 6371000     		du = 4865.52505012757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09190918)-sin(-0.09267290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995779323680174-0.995708939186449)×R²
    abs(0.09280584-0.09203885)×7.03844937250953e-05×R²
    0.000766989999999995×7.03844937250953e-05×6371000²
    0.000766989999999995×7.03844937250953e-05×40589641000000     		ar = 23674829.0814064m²