Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4220 / 4236
↖ ↑ ↗
← S  6.140555°
E  5.449219°		 ← 4 858.46 m → S  6.140555°
E  5.493164°		 →
↑
4 858.27 m
↓
↑
4 858.27 m
↓
S  6.184246°
E  5.449219°		 ← 4 858.06 m →
23 602 724 m²		 S  6.184246°
E  5.493164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51519775390625 y=0.51715087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51519775390625 × 213)
    floor (0.51519775390625 × 8192)
    floor (4220.5)     		tx = 4220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51715087890625 × 213)
    floor (0.51715087890625 × 8192)
    floor (4236.5)     		ty = 4236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4220 / 4236 ti = "13/4220/4236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4220/4236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4220 ÷ 213
    4220 ÷ 8192     		x = 0.51513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4236 ÷ 213
    4236 ÷ 8192     		y = 0.51708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51513671875 × 2 - 1) × π
    0.0302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09510681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51708984375 × 2 - 1) × π
    -0.0341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.107378655148926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09510681} λ = 0.09510681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.107378655148926))-π/2
    2×atan(0.898185506024837)-π/2
    2×0.731811713972553-π/2
    1.46362342794511-1.57079632675     		φ = -0.10717290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09510681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10717290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.140555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4220 KachelY 4236 0.09510681 -0.10717290 5.449219 -6.140555
    Oben rechts KachelX + 1 4221 KachelY 4236 0.09587380 -0.10717290 5.493164 -6.140555
    Unten links KachelX 4220 KachelY + 1 4237 0.09510681 -0.10793546 5.449219 -6.184246
    Unten rechts KachelX + 1 4221 KachelY + 1 4237 0.09587380 -0.10793546 5.493164 -6.184246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10717290--0.10793546) × R
    0.000762559999999995 × 6371000     		dl = 4858.26975999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10717290--0.10793546) × R
    0.000762559999999995 × 6371000     		dr = 4858.26975999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09510681-0.09587380) × cos(-0.10717290) × R
    0.000766989999999995 × 0.994262479685944 × 6371000     		do = 4858.45693548409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09510681-0.09587380) × cos(-0.10793546) × R
    0.000766989999999995 × 0.994180621207489 × 6371000     		du = 4858.0569345784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10717290)-sin(-0.10793546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994262479685944-0.994180621207489)×R²
    abs(0.09587380-0.09510681)×8.1858478454544e-05×R²
    0.000766989999999995×8.1858478454544e-05×6371000²
    0.000766989999999995×8.1858478454544e-05×40589641000000     		ar = 23602723.8975167m²