Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4224 / 4223
↖ ↑ ↗
← S  5.572250°
E  5.625000°		 ← 4 863.40 m → S  5.572250°
E  5.668945°		 →
↑
4 863.18 m
↓
↑
4 863.18 m
↓
S  5.615986°
E  5.625000°		 ← 4 863.04 m →
23 650 696 m²		 S  5.615986°
E  5.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51568603515625 y=0.51556396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51568603515625 × 213)
    floor (0.51568603515625 × 8192)
    floor (4224.5)     		tx = 4224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51556396484375 × 213)
    floor (0.51556396484375 × 8192)
    floor (4223.5)     		ty = 4223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4224 / 4223 ti = "13/4224/4223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4224/4223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4224 ÷ 213
    4224 ÷ 8192     		x = 0.515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4223 ÷ 213
    4223 ÷ 8192     		y = 0.5155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515625 × 2 - 1) × π
    0.03125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5155029296875 × 2 - 1) × π
    -0.031005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0974077800279541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09817477} λ = 0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0974077800279541))-π/2
    2×atan(0.907185998365738)-π/2
    2×0.736771110512315-π/2
    1.47354222102463-1.57079632675     		φ = -0.09725411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09725411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.572250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4224 KachelY 4223 0.09817477 -0.09725411 5.625000 -5.572250
    Oben rechts KachelX + 1 4225 KachelY 4223 0.09894176 -0.09725411 5.668945 -5.572250
    Unten links KachelX 4224 KachelY + 1 4224 0.09817477 -0.09801744 5.625000 -5.615986
    Unten rechts KachelX + 1 4225 KachelY + 1 4224 0.09894176 -0.09801744 5.668945 -5.615986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09725411--0.09801744) × R
    0.000763329999999993 × 6371000     		dl = 4863.17542999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09725411--0.09801744) × R
    0.000763329999999993 × 6371000     		dr = 4863.17542999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09817477-0.09894176) × cos(-0.09725411) × R
    0.000766990000000009 × 0.995274545394462 × 6371000     		do = 4863.4023877779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09817477-0.09894176) × cos(-0.09801744) × R
    0.000766990000000009 × 0.995200135433612 × 6371000     		du = 4863.03878400349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09725411)-sin(-0.09801744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995274545394462-0.995200135433612)×R²
    abs(0.09894176-0.09817477)×7.44099608499527e-05×R²
    0.000766990000000009×7.44099608499527e-05×6371000²
    0.000766990000000009×7.44099608499527e-05×40589641000000     		ar = 23650696.0123579m²