Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4225 / 3967
↖ ↑ ↗
← N  5.659718°
E  5.668945°		 ← 4 862.67 m → N  5.659718°
E  5.712891°		 →
↑
4 862.86 m
↓
↑
4 862.86 m
↓
N  5.615986°
E  5.668945°		 ← 4 863.04 m →
23 647 372 m²		 N  5.615986°
E  5.712891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51580810546875 y=0.48431396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51580810546875 × 213)
    floor (0.51580810546875 × 8192)
    floor (4225.5)     		tx = 4225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48431396484375 × 213)
    floor (0.48431396484375 × 8192)
    floor (3967.5)     		ty = 3967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4225 / 3967 ti = "13/4225/3967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4225/3967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4225 ÷ 213
    4225 ÷ 8192     		x = 0.5157470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3967 ÷ 213
    3967 ÷ 8192     		y = 0.4842529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5157470703125 × 2 - 1) × π
    0.031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09894176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4842529296875 × 2 - 1) × π
    0.031494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0989417608157959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09894176} λ = 0.09894176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0989417608157959))-π/2
    2×atan(1.10400200151064)-π/2
    2×0.834788525152835-π/2
    1.66957705030567-1.57079632675     		φ = 0.09878072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09894176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09878072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.659718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4225 KachelY 3967 0.09894176 0.09878072 5.668945 5.659718
    Oben rechts KachelX + 1 4226 KachelY 3967 0.09970875 0.09878072 5.712891 5.659718
    Unten links KachelX 4225 KachelY + 1 3968 0.09894176 0.09801744 5.668945 5.615986
    Unten rechts KachelX + 1 4226 KachelY + 1 3968 0.09970875 0.09801744 5.712891 5.615986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09878072-0.09801744) × R
    0.000763280000000005 × 6371000     		dl = 4862.85688000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09878072-0.09801744) × R
    0.000763280000000005 × 6371000     		dr = 4862.85688000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09894176-0.09970875) × cos(0.09878072) × R
    0.000766989999999995 × 0.99512515052786 × 6371000     		do = 4862.6723707646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09894176-0.09970875) × cos(0.09801744) × R
    0.000766989999999995 × 0.995200135433612 × 6371000     		du = 4863.03878400341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09878072)-sin(0.09801744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99512515052786-0.995200135433612)×R²
    abs(0.09970875-0.09894176)×7.49849057517515e-05×R²
    0.000766989999999995×7.49849057517515e-05×6371000²
    0.000766989999999995×7.49849057517515e-05×40589641000000     		ar = 23647371.849001m²