Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4225 / 4225
↖ ↑ ↗
← S  5.659718°
E  5.668945°		 ← 4 862.67 m → S  5.659718°
E  5.712891°		 →
↑
4 862.54 m
↓
↑
4 862.54 m
↓
S  5.703448°
E  5.668945°		 ← 4 862.30 m →
23 644 034 m²		 S  5.703448°
E  5.712891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51580810546875 y=0.51580810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51580810546875 × 213)
    floor (0.51580810546875 × 8192)
    floor (4225.5)     		tx = 4225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51580810546875 × 213)
    floor (0.51580810546875 × 8192)
    floor (4225.5)     		ty = 4225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4225 / 4225 ti = "13/4225/4225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4225/4225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4225 ÷ 213
    4225 ÷ 8192     		x = 0.5157470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4225 ÷ 213
    4225 ÷ 8192     		y = 0.5157470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5157470703125 × 2 - 1) × π
    0.031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09894176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5157470703125 × 2 - 1) × π
    -0.031494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0989417608157959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09894176} λ = 0.09894176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0989417608157959))-π/2
    2×atan(0.905795459276043)-π/2
    2×0.736007801642061-π/2
    1.47201560328412-1.57079632675     		φ = -0.09878072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09894176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09878072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.659718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4225 KachelY 4225 0.09894176 -0.09878072 5.668945 -5.659718
    Oben rechts KachelX + 1 4226 KachelY 4225 0.09970875 -0.09878072 5.712891 -5.659718
    Unten links KachelX 4225 KachelY + 1 4226 0.09894176 -0.09954395 5.668945 -5.703448
    Unten rechts KachelX + 1 4226 KachelY + 1 4226 0.09970875 -0.09954395 5.712891 -5.703448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09878072--0.09954395) × R
    0.000763230000000004 × 6371000     		dl = 4862.53833000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09878072--0.09954395) × R
    0.000763230000000004 × 6371000     		dr = 4862.53833000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09894176-0.09970875) × cos(-0.09878072) × R
    0.000766989999999995 × 0.99512515052786 × 6371000     		do = 4862.6723707646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09894176-0.09970875) × cos(-0.09954395) × R
    0.000766989999999995 × 0.995049590834831 × 6371000     		du = 4862.30314883162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09878072)-sin(-0.09954395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99512515052786-0.995049590834831)×R²
    abs(0.09970875-0.09894176)×7.55596930294145e-05×R²
    0.000766989999999995×7.55596930294145e-05×6371000²
    0.000766989999999995×7.55596930294145e-05×40589641000000     		ar = 23644034.2589346m²