Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4232 / 4232
↖ ↑ ↗
← S  5.965753°
E  5.976562°		 ← 4 860.03 m → S  5.965753°
E  6.020508°		 →
↑
4 859.86 m
↓
↑
4 859.86 m
↓
S  6.009459°
E  5.976562°		 ← 4 859.64 m →
23 618 129 m²		 S  6.009459°
E  6.020508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51666259765625 y=0.51666259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51666259765625 × 213)
    floor (0.51666259765625 × 8192)
    floor (4232.5)     		tx = 4232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51666259765625 × 213)
    floor (0.51666259765625 × 8192)
    floor (4232.5)     		ty = 4232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4232 / 4232 ti = "13/4232/4232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4232/4232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4232 ÷ 213
    4232 ÷ 8192     		x = 0.5166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4232 ÷ 213
    4232 ÷ 8192     		y = 0.5166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5166015625 × 2 - 1) × π
    0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5166015625 × 2 - 1) × π
    -0.033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.104310693573242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10431069} λ = 0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.104310693573242))-π/2
    2×atan(0.900945336006611)-π/2
    2×0.733337141437415-π/2
    1.46667428287483-1.57079632675     		φ = -0.10412204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10412204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.965753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4232 KachelY 4232 0.10431069 -0.10412204 5.976562 -5.965753
    Oben rechts KachelX + 1 4233 KachelY 4232 0.10507768 -0.10412204 6.020508 -5.965753
    Unten links KachelX 4232 KachelY + 1 4233 0.10431069 -0.10488485 5.976562 -6.009459
    Unten rechts KachelX + 1 4233 KachelY + 1 4233 0.10507768 -0.10488485 6.020508 -6.009459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10412204--0.10488485) × R
    0.000762810000000003 × 6371000     		dl = 4859.86251000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10412204--0.10488485) × R
    0.000762810000000003 × 6371000     		dr = 4859.86251000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10431069-0.10507768) × cos(-0.10412204) × R
    0.000766990000000009 × 0.994584195954369 × 6371000     		do = 4860.02899987113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10431069-0.10507768) × cos(-0.10488485) × R
    0.000766990000000009 × 0.994504624700713 × 6371000     		du = 4859.64017547406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10412204)-sin(-0.10488485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994584195954369-0.994504624700713)×R²
    abs(0.10507768-0.10431069)×7.95712536559856e-05×R²
    0.000766990000000009×7.95712536559856e-05×6371000²
    0.000766990000000009×7.95712536559856e-05×40589641000000     		ar = 23618129.0626729m²