Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4256 / 4256
↖ ↑ ↗
← S  7.013668°
E  7.031250°		 ← 4 849.93 m → S  7.013668°
E  7.075195°		 →
↑
4 849.67 m
↓
↑
4 849.67 m
↓
S  7.057282°
E  7.031250°		 ← 4 849.47 m →
23 519 441 m²		 S  7.057282°
E  7.075195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51959228515625 y=0.51959228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51959228515625 × 213)
    floor (0.51959228515625 × 8192)
    floor (4256.5)     		tx = 4256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51959228515625 × 213)
    floor (0.51959228515625 × 8192)
    floor (4256.5)     		ty = 4256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4256 / 4256 ti = "13/4256/4256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4256/4256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4256 ÷ 213
    4256 ÷ 8192     		x = 0.51953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4256 ÷ 213
    4256 ÷ 8192     		y = 0.51953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51953125 × 2 - 1) × π
    0.0390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12271846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51953125 × 2 - 1) × π
    -0.0390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.122718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12271846} λ = 0.12271846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.122718463027344))-π/2
    2×atan(0.884512650523422)-π/2
    2×0.724192364410406-π/2
    1.44838472882081-1.57079632675     		φ = -0.12241160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12271846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12241160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.013668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4256 KachelY 4256 0.12271846 -0.12241160 7.031250 -7.013668
    Oben rechts KachelX + 1 4257 KachelY 4256 0.12348545 -0.12241160 7.075195 -7.013668
    Unten links KachelX 4256 KachelY + 1 4257 0.12271846 -0.12317281 7.031250 -7.057282
    Unten rechts KachelX + 1 4257 KachelY + 1 4257 0.12348545 -0.12317281 7.075195 -7.057282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12241160--0.12317281) × R
    0.000761209999999998 × 6371000     		dl = 4849.66890999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12241160--0.12317281) × R
    0.000761209999999998 × 6371000     		dr = 4849.66890999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12271846-0.12348545) × cos(-0.12241160) × R
    0.000766989999999995 × 0.992517051180543 × 6371000     		do = 4849.92791080428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12271846-0.12348545) × cos(-0.12317281) × R
    0.000766989999999995 × 0.992423815242002 × 6371000     		du = 4849.47231401621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12241160)-sin(-0.12317281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992517051180543-0.992423815242002)×R²
    abs(0.12348545-0.12271846)×9.32359385411585e-05×R²
    0.000766989999999995×9.32359385411585e-05×6371000²
    0.000766989999999995×9.32359385411585e-05×40589641000000     		ar = 23519440.9936563m²