Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4258 / 4258
↖ ↑ ↗
← S  7.100893°
E  7.119140°		 ← 4 849.01 m → S  7.100893°
E  7.163086°		 →
↑
4 848.78 m
↓
↑
4 848.78 m
↓
S  7.144499°
E  7.119140°		 ← 4 848.55 m →
23 510 670 m²		 S  7.144499°
E  7.163086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51983642578125 y=0.51983642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51983642578125 × 213)
    floor (0.51983642578125 × 8192)
    floor (4258.5)     		tx = 4258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51983642578125 × 213)
    floor (0.51983642578125 × 8192)
    floor (4258.5)     		ty = 4258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4258 / 4258 ti = "13/4258/4258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4258/4258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4258 ÷ 213
    4258 ÷ 8192     		x = 0.519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4258 ÷ 213
    4258 ÷ 8192     		y = 0.519775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519775390625 × 2 - 1) × π
    0.03955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12425244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.519775390625 × 2 - 1) × π
    -0.03955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.124252443815186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12425244} λ = 0.12425244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.124252443815186))-π/2
    2×atan(0.883156865251054)-π/2
    2×0.723431184950106-π/2
    1.44686236990021-1.57079632675     		φ = -0.12393396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12425244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.119140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12393396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.100893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4258 KachelY 4258 0.12425244 -0.12393396 7.119140 -7.100893
    Oben rechts KachelX + 1 4259 KachelY 4258 0.12501943 -0.12393396 7.163086 -7.100893
    Unten links KachelX 4258 KachelY + 1 4259 0.12425244 -0.12469503 7.119140 -7.144499
    Unten rechts KachelX + 1 4259 KachelY + 1 4259 0.12501943 -0.12469503 7.163086 -7.144499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12393396--0.12469503) × R
    0.000761070000000003 × 6371000     		dl = 4848.77697000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12393396--0.12469503) × R
    0.000761070000000003 × 6371000     		dr = 4848.77697000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12425244-0.12501943) × cos(-0.12393396) × R
    0.000766989999999981 × 0.992330011669792 × 6371000     		do = 4849.01394348994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12425244-0.12501943) × cos(-0.12469503) × R
    0.000766989999999981 × 0.992235643141665 × 6371000     		du = 4848.55281231046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12393396)-sin(-0.12469503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992330011669792-0.992235643141665)×R²
    abs(0.12501943-0.12425244)×9.43685281277196e-05×R²
    0.000766989999999981×9.43685281277196e-05×6371000²
    0.000766989999999981×9.43685281277196e-05×40589641000000     		ar = 23510670.3101168m²