Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4260 / 4260
↖ ↑ ↗
← S  7.188101°
E  7.207031°		 ← 4 848.09 m → S  7.188101°
E  7.250976°		 →
↑
4 847.82 m
↓
↑
4 847.82 m
↓
S  7.231699°
E  7.207031°		 ← 4 847.62 m →
23 501 539 m²		 S  7.231699°
E  7.250976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52008056640625 y=0.52008056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52008056640625 × 213)
    floor (0.52008056640625 × 8192)
    floor (4260.5)     		tx = 4260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52008056640625 × 213)
    floor (0.52008056640625 × 8192)
    floor (4260.5)     		ty = 4260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4260 / 4260 ti = "13/4260/4260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4260/4260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4260 ÷ 213
    4260 ÷ 8192     		x = 0.52001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4260 ÷ 213
    4260 ÷ 8192     		y = 0.52001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52001953125 × 2 - 1) × π
    0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52001953125 × 2 - 1) × π
    -0.0400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.125786424603027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12578642} λ = 0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.125786424603027))-π/2
    2×atan(0.881803158132915)-π/2
    2×0.722670149815458-π/2
    1.44534029963092-1.57079632675     		φ = -0.12545603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12545603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.188101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4260 KachelY 4260 0.12578642 -0.12545603 7.207031 -7.188101
    Oben rechts KachelX + 1 4261 KachelY 4260 0.12655341 -0.12545603 7.250976 -7.188101
    Unten links KachelX 4260 KachelY + 1 4261 0.12578642 -0.12621695 7.207031 -7.231699
    Unten rechts KachelX + 1 4261 KachelY + 1 4261 0.12655341 -0.12621695 7.250976 -7.231699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12545603--0.12621695) × R
    0.000760919999999998 × 6371000     		dl = 4847.82131999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12545603--0.12621695) × R
    0.000760919999999998 × 6371000     		dr = 4847.82131999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12578642-0.12655341) × cos(-0.12545603) × R
    0.000766989999999995 × 0.992140708642255 × 6371000     		do = 4848.08891551619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12578642-0.12655341) × cos(-0.12621695) × R
    0.000766989999999995 × 0.992045209643925 × 6371000     		du = 4847.62226030165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12545603)-sin(-0.12621695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992140708642255-0.992045209643925)×R²
    abs(0.12655341-0.12578642)×9.549899833039e-05×R²
    0.000766989999999995×9.549899833039e-05×6371000²
    0.000766989999999995×9.549899833039e-05×40589641000000     		ar = 23501538.809294m²