Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4290 / 4290
↖ ↑ ↗
← S  8.494104°
E  8.525391°		 ← 4 832.89 m → S  8.494104°
E  8.569336°		 →
↑
4 832.66 m
↓
↑
4 832.66 m
↓
S  8.537566°
E  8.525391°		 ← 4 832.34 m →
23 354 399 m²		 S  8.537566°
E  8.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52374267578125 y=0.52374267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52374267578125 × 213)
    floor (0.52374267578125 × 8192)
    floor (4290.5)     		tx = 4290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52374267578125 × 213)
    floor (0.52374267578125 × 8192)
    floor (4290.5)     		ty = 4290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4290 / 4290 ti = "13/4290/4290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4290/4290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4290 ÷ 213
    4290 ÷ 8192     		x = 0.523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4290 ÷ 213
    4290 ÷ 8192     		y = 0.523681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523681640625 × 2 - 1) × π
    0.04736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14879614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523681640625 × 2 - 1) × π
    -0.04736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.148796136420654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14879614} λ = 0.14879614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.148796136420654))-π/2
    2×atan(0.861744775367353)-π/2
    2×0.711273117805116-π/2
    1.42254623561023-1.57079632675     		φ = -0.14825009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14879614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.525391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14825009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.494104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4290 KachelY 4290 0.14879614 -0.14825009 8.525391 -8.494104
    Oben rechts KachelX + 1 4291 KachelY 4290 0.14956313 -0.14825009 8.569336 -8.494104
    Unten links KachelX 4290 KachelY + 1 4291 0.14879614 -0.14900863 8.525391 -8.537566
    Unten rechts KachelX + 1 4291 KachelY + 1 4291 0.14956313 -0.14900863 8.569336 -8.537566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14825009--0.14900863) × R
    0.000758540000000002 × 6371000     		dl = 4832.65834000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14825009--0.14900863) × R
    0.000758540000000002 × 6371000     		dr = 4832.65834000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14879614-0.14956313) × cos(-0.14825009) × R
    0.000766989999999995 × 0.989031067185378 × 6371000     		do = 4832.89367340286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14879614-0.14956313) × cos(-0.14900863) × R
    0.000766989999999995 × 0.98891874050394 × 6371000     		du = 4832.34478982773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14825009)-sin(-0.14900863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989031067185378-0.98891874050394)×R²
    abs(0.14956313-0.14879614)×0.000112326681437458×R²
    0.000766989999999995×0.000112326681437458×6371000²
    0.000766989999999995×0.000112326681437458×40589641000000     		ar = 23354398.7535205m²