Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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9 / 432 / 432
↖ ↑ ↗
← S 76.840817°
E123.750000°		 ← 17.799 km → S 76.840817°
E124.453125°		 →
↑
17.693 km
↓
↑
17.693 km
↓
S 76.999935°
E123.750000°		 ← 17.588 km →
313.052 km²		 S 76.999935°
E124.453125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8447265625 y=0.8447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8447265625 × 29)
    floor (0.8447265625 × 512)
    floor (432.5)     		tx = 432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8447265625 × 29)
    floor (0.8447265625 × 512)
    floor (432.5)     		ty = 432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 432 / 432 ti = "9/432/432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/432/432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 432 ÷ 29
    432 ÷ 512     		x = 0.84375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 432 ÷ 29
    432 ÷ 512     		y = 0.84375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.84375 × 2 - 1) × π
    0.6875 × 3.1415926535     		Λ = 2.15984495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.84375 × 2 - 1) × π
    -0.6875 × 3.1415926535     		Φ = -2.15984494928125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.15984495} λ = 2.15984495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.15984494928125))-π/2
    2×atan(0.115343003667291)-π/2
    2×0.114835540228313-π/2
    0.229671080456626-1.57079632675     		φ = -1.34112525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.15984495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 123.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.34112525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -76.840817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 432 KachelY 432 2.15984495 -1.34112525 123.750000 -76.840817
    Oben rechts KachelX + 1 433 KachelY 432 2.17211680 -1.34112525 124.453125 -76.840817
    Unten links KachelX 432 KachelY + 1 433 2.15984495 -1.34390239 123.750000 -76.999935
    Unten rechts KachelX + 1 433 KachelY + 1 433 2.17211680 -1.34390239 124.453125 -76.999935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.34112525--1.34390239) × R
    0.00277714000000007 × 6371000     		dl = 17693.1589400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.34112525--1.34390239) × R
    0.00277714000000007 × 6371000     		dr = 17693.1589400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.15984495-2.17211680) × cos(-1.34112525) × R
    0.0122718499999999 × 0.227657249737119 × 6371000     		do = 17799.1444762077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.15984495-2.17211680) × cos(-1.34390239) × R
    0.0122718499999999 × 0.224952159314094 × 6371000     		du = 17587.6498046512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.34112525)-sin(-1.34390239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227657249737119-0.224952159314094)×R²
    abs(2.17211680-2.15984495)×0.00270509042302428×R²
    0.0122718499999999×0.00270509042302428×6371000²
    0.0122718499999999×0.00270509042302428×40589641000000     		ar = 313052288.995659m²