Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4320 / 4448
↖ ↑ ↗
← S 15.284185°
E  9.843750°		 ← 4 713.66 m → S 15.284185°
E  9.887695°		 →
↑
4 713.20 m
↓
↑
4 713.20 m
↓
S 15.326572°
E  9.843750°		 ← 4 712.70 m →
22 214 180 m²		 S 15.326572°
E  9.887695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52740478515625 y=0.54302978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52740478515625 × 213)
    floor (0.52740478515625 × 8192)
    floor (4320.5)     		tx = 4320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.54302978515625 × 213)
    floor (0.54302978515625 × 8192)
    floor (4448.5)     		ty = 4448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4320 / 4448 ti = "13/4320/4448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4320/4448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4320 ÷ 213
    4320 ÷ 8192     		x = 0.52734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4448 ÷ 213
    4448 ÷ 8192     		y = 0.54296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52734375 × 2 - 1) × π
    0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54296875 × 2 - 1) × π
    -0.0859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.269980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17180585} λ = 0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.269980618660156))-π/2
    2×atan(0.76339428979764)-π/2
    2×0.652018486538701-π/2
    1.3040369730774-1.57079632675     		φ = -0.26675935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.26675935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -15.284185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4320 KachelY 4448 0.17180585 -0.26675935 9.843750 -15.284185
    Oben rechts KachelX + 1 4321 KachelY 4448 0.17257284 -0.26675935 9.887695 -15.284185
    Unten links KachelX 4320 KachelY + 1 4449 0.17180585 -0.26749914 9.843750 -15.326572
    Unten rechts KachelX + 1 4321 KachelY + 1 4449 0.17257284 -0.26749914 9.887695 -15.326572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.26675935--0.26749914) × R
    0.000739790000000018 × 6371000     		dl = 4713.20209000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.26675935--0.26749914) × R
    0.000739790000000018 × 6371000     		dr = 4713.20209000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17180585-0.17257284) × cos(-0.26675935) × R
    0.000766989999999995 × 0.964630217417108 × 6371000     		do = 4713.65908473991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17180585-0.17257284) × cos(-0.26749914) × R
    0.000766989999999995 × 0.964434939796374 × 6371000     		du = 4712.70486195651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.26675935)-sin(-0.26749914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964630217417108-0.964434939796374)×R²
    abs(0.17257284-0.17180585)×0.000195277620734124×R²
    0.000766989999999995×0.000195277620734124×6371000²
    0.000766989999999995×0.000195277620734124×40589641000000     		ar = 22214180.1404677m²