Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4351 / 4350
↖ ↑ ↗
← S 11.092166°
E 11.206055°		 ← 4 795.21 m → S 11.092166°
E 11.250000°		 →
↑
4 794.81 m
↓
↑
4 794.81 m
↓
S 11.135287°
E 11.206055°		 ← 4 794.50 m →
22 990 438 m²		 S 11.135287°
E 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53118896484375 y=0.53106689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53118896484375 × 213)
    floor (0.53118896484375 × 8192)
    floor (4351.5)     		tx = 4351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.53106689453125 × 213)
    floor (0.53106689453125 × 8192)
    floor (4350.5)     		ty = 4350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4351 / 4350 ti = "13/4351/4350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4351/4350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4351 ÷ 213
    4351 ÷ 8192     		x = 0.5311279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4350 ÷ 213
    4350 ÷ 8192     		y = 0.531005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5311279296875 × 2 - 1) × π
    0.062255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19558255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531005859375 × 2 - 1) × π
    -0.06201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.194815560055908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19558255} λ = 0.19558255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.194815560055908))-π/2
    2×atan(0.822986435630841)-π/2
    2×0.688600755390666-π/2
    1.37720151078133-1.57079632675     		φ = -0.19359482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19558255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.206055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19359482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.092166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4351 KachelY 4350 0.19558255 -0.19359482 11.206055 -11.092166
    Oben rechts KachelX + 1 4352 KachelY 4350 0.19634954 -0.19359482 11.250000 -11.092166
    Unten links KachelX 4351 KachelY + 1 4351 0.19558255 -0.19434742 11.206055 -11.135287
    Unten rechts KachelX + 1 4352 KachelY + 1 4351 0.19634954 -0.19434742 11.250000 -11.135287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19359482--0.19434742) × R
    0.000752599999999992 × 6371000     		dl = 4794.81459999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19359482--0.19434742) × R
    0.000752599999999992 × 6371000     		dr = 4794.81459999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19558255-0.19634954) × cos(-0.19359482) × R
    0.000766989999999995 × 0.981318977765296 × 6371000     		do = 4795.20860019975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19558255-0.19634954) × cos(-0.19434742) × R
    0.000766989999999995 × 0.981173908811193 × 6371000     		du = 4794.49972172894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19359482)-sin(-0.19434742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981318977765296-0.981173908811193)×R²
    abs(0.19634954-0.19558255)×0.000145068954102934×R²
    0.000766989999999995×0.000145068954102934×6371000²
    0.000766989999999995×0.000145068954102934×40589641000000     		ar = 22990437.8210235m²