Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4351 / 4354
↖ ↑ ↗
← S 11.264612°
E 11.206055°		 ← 4 792.36 m → S 11.264612°
E 11.250000°		 →
↑
4 792.01 m
↓
↑
4 792.01 m
↓
S 11.307708°
E 11.206055°		 ← 4 791.64 m →
22 963 309 m²		 S 11.307708°
E 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53118896484375 y=0.53155517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53118896484375 × 213)
    floor (0.53118896484375 × 8192)
    floor (4351.5)     		tx = 4351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.53155517578125 × 213)
    floor (0.53155517578125 × 8192)
    floor (4354.5)     		ty = 4354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4351 / 4354 ti = "13/4351/4354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4351/4354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4351 ÷ 213
    4351 ÷ 8192     		x = 0.5311279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4354 ÷ 213
    4354 ÷ 8192     		y = 0.531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5311279296875 × 2 - 1) × π
    0.062255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19558255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531494140625 × 2 - 1) × π
    -0.06298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.197883521631592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19558255} λ = 0.19558255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.197883521631592))-π/2
    2×atan(0.820465414045097)-π/2
    2×0.687095877365939-π/2
    1.37419175473188-1.57079632675     		φ = -0.19660457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19558255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.206055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19660457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.264612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4351 KachelY 4354 0.19558255 -0.19660457 11.206055 -11.264612
    Oben rechts KachelX + 1 4352 KachelY 4354 0.19634954 -0.19660457 11.250000 -11.264612
    Unten links KachelX 4351 KachelY + 1 4355 0.19558255 -0.19735673 11.206055 -11.307708
    Unten rechts KachelX + 1 4352 KachelY + 1 4355 0.19634954 -0.19735673 11.250000 -11.307708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19660457--0.19735673) × R
    0.000752160000000002 × 6371000     		dl = 4792.01136000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19660457--0.19735673) × R
    0.000752160000000002 × 6371000     		dr = 4792.01136000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19558255-0.19634954) × cos(-0.19660457) × R
    0.000766989999999995 × 0.980735494789576 × 6371000     		do = 4792.35741455406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19558255-0.19634954) × cos(-0.19735673) × R
    0.000766989999999995 × 0.980588290111766 × 6371000     		du = 4791.63809988369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19660457)-sin(-0.19735673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980735494789576-0.980588290111766)×R²
    abs(0.19634954-0.19558255)×0.000147204677810042×R²
    0.000766989999999995×0.000147204677810042×6371000²
    0.000766989999999995×0.000147204677810042×40589641000000     		ar = 22963308.7723021m²