Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4364 / 4364
↖ ↑ ↗
← S 11.695273°
E 11.777344°		 ← 4 785.05 m → S 11.695273°
E 11.821289°		 →
↑
4 784.62 m
↓
↑
4 784.62 m
↓
S 11.738302°
E 11.777344°		 ← 4 784.30 m →
22 892 857 m²		 S 11.738302°
E 11.821289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53277587890625 y=0.53277587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53277587890625 × 213)
    floor (0.53277587890625 × 8192)
    floor (4364.5)     		tx = 4364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.53277587890625 × 213)
    floor (0.53277587890625 × 8192)
    floor (4364.5)     		ty = 4364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4364 / 4364 ti = "13/4364/4364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4364/4364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4364 ÷ 213
    4364 ÷ 8192     		x = 0.53271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4364 ÷ 213
    4364 ÷ 8192     		y = 0.53271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53271484375 × 2 - 1) × π
    0.0654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.20555343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53271484375 × 2 - 1) × π
    -0.0654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.205553425570801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20555343} λ = 0.20555343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.205553425570801))-π/2
    2×atan(0.814196594487351)-π/2
    2×0.683337655345285-π/2
    1.36667531069057-1.57079632675     		φ = -0.20412102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20555343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.777344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20412102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.695273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4364 KachelY 4364 0.20555343 -0.20412102 11.777344 -11.695273
    Oben rechts KachelX + 1 4365 KachelY 4364 0.20632042 -0.20412102 11.821289 -11.695273
    Unten links KachelX 4364 KachelY + 1 4365 0.20555343 -0.20487202 11.777344 -11.738302
    Unten rechts KachelX + 1 4365 KachelY + 1 4365 0.20632042 -0.20487202 11.821289 -11.738302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20412102--0.20487202) × R
    0.000751000000000002 × 6371000     		dl = 4784.62100000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20412102--0.20487202) × R
    0.000751000000000002 × 6371000     		dr = 4784.62100000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20555343-0.20632042) × cos(-0.20412102) × R
    0.000766989999999995 × 0.979239537744585 × 6371000     		do = 4785.04743049158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20555343-0.20632042) × cos(-0.20487202) × R
    0.000766989999999995 × 0.979087029026597 × 6371000     		du = 4784.30219766447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20412102)-sin(-0.20487202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979239537744585-0.979087029026597)×R²
    abs(0.20632042-0.20555343)×0.000152508717987443×R²
    0.000766989999999995×0.000152508717987443×6371000²
    0.000766989999999995×0.000152508717987443×40589641000000     		ar = 22892856.6695747m²