Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4368 / 4368
↖ ↑ ↗
← S 11.867351°
E 11.953125°		 ← 4 782.05 m → S 11.867351°
E 11.997070°		 →
↑
4 781.63 m
↓
↑
4 781.63 m
↓
S 11.910353°
E 11.953125°		 ← 4 781.30 m →
22 864 177 m²		 S 11.910353°
E 11.997070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53326416015625 y=0.53326416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53326416015625 × 213)
    floor (0.53326416015625 × 8192)
    floor (4368.5)     		tx = 4368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.53326416015625 × 213)
    floor (0.53326416015625 × 8192)
    floor (4368.5)     		ty = 4368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4368 / 4368 ti = "13/4368/4368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4368/4368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4368 ÷ 213
    4368 ÷ 8192     		x = 0.533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4368 ÷ 213
    4368 ÷ 8192     		y = 0.533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533203125 × 2 - 1) × π
    0.06640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20862139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533203125 × 2 - 1) × π
    -0.06640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.208621387146484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20862139} λ = 0.20862139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.208621387146484))-π/2
    2×atan(0.811702498472065)-π/2
    2×0.681835989953108-π/2
    1.36367197990622-1.57079632675     		φ = -0.20712435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20862139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20712435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.867351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4368 KachelY 4368 0.20862139 -0.20712435 11.953125 -11.867351
    Oben rechts KachelX + 1 4369 KachelY 4368 0.20938838 -0.20712435 11.997070 -11.867351
    Unten links KachelX 4368 KachelY + 1 4369 0.20862139 -0.20787488 11.953125 -11.910353
    Unten rechts KachelX + 1 4369 KachelY + 1 4369 0.20938838 -0.20787488 11.997070 -11.910353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20712435--0.20787488) × R
    0.000750529999999999 × 6371000     		dl = 4781.62663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20712435--0.20787488) × R
    0.000750529999999999 × 6371000     		dr = 4781.62663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20862139-0.20938838) × cos(-0.20712435) × R
    0.000766990000000023 × 0.978626327765447 × 6371000     		do = 4782.05098404334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20862139-0.20938838) × cos(-0.20787488) × R
    0.000766990000000023 × 0.978471708234068 × 6371000     		du = 4781.29543674075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20712435)-sin(-0.20787488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978626327765447-0.978471708234068)×R²
    abs(0.20938838-0.20862139)×0.000154619531379296×R²
    0.000766990000000023×0.000154619531379296×6371000²
    0.000766990000000023×0.000154619531379296×40589641000000     		ar = 22864177.032042m²