Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4370 / 4370
↖ ↑ ↗
← S 11.953349°
E 12.041016°		 ← 4 780.54 m → S 11.953349°
E 12.084961°		 →
↑
4 780.16 m
↓
↑
4 780.16 m
↓
S 11.996338°
E 12.041016°		 ← 4 779.78 m →
22 849 922 m²		 S 11.996338°
E 12.084961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53350830078125 y=0.53350830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53350830078125 × 213)
    floor (0.53350830078125 × 8192)
    floor (4370.5)     		tx = 4370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.53350830078125 × 213)
    floor (0.53350830078125 × 8192)
    floor (4370.5)     		ty = 4370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4370 / 4370 ti = "13/4370/4370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4370/4370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4370 ÷ 213
    4370 ÷ 8192     		x = 0.533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4370 ÷ 213
    4370 ÷ 8192     		y = 0.533447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533447265625 × 2 - 1) × π
    0.06689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.21015537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533447265625 × 2 - 1) × π
    -0.06689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.210155367934326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21015537} λ = 0.21015537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.210155367934326))-π/2
    2×atan(0.810458316953212)-π/2
    2×0.681085511620214-π/2
    1.36217102324043-1.57079632675     		φ = -0.20862530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21015537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.041016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20862530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.953349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4370 KachelY 4370 0.21015537 -0.20862530 12.041016 -11.953349
    Oben rechts KachelX + 1 4371 KachelY 4370 0.21092236 -0.20862530 12.084961 -11.953349
    Unten links KachelX 4370 KachelY + 1 4371 0.21015537 -0.20937560 12.041016 -11.996338
    Unten rechts KachelX + 1 4371 KachelY + 1 4371 0.21092236 -0.20937560 12.084961 -11.996338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20862530--0.20937560) × R
    0.000750299999999982 × 6371000     		dl = 4780.16129999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20862530--0.20937560) × R
    0.000750299999999982 × 6371000     		dr = 4780.16129999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21015537-0.21092236) × cos(-0.20862530) × R
    0.000766989999999995 × 0.978316560316897 × 6371000     		do = 4780.53730748437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21015537-0.21092236) × cos(-0.20937560) × R
    0.000766989999999995 × 0.978160886422083 × 6371000     		du = 4779.77660804193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20862530)-sin(-0.20937560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978316560316897-0.978160886422083)×R²
    abs(0.21092236-0.21015537)×0.000155673894813968×R²
    0.000766989999999995×0.000155673894813968×6371000²
    0.000766989999999995×0.000155673894813968×40589641000000     		ar = 22849922.3693716m²