Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4372 / 4372
↖ ↑ ↗
← S 12.039320°
E 12.128906°		 ← 4 779.01 m → S 12.039320°
E 12.172852°		 →
↑
4 778.63 m
↓
↑
4 778.63 m
↓
S 12.082296°
E 12.128906°		 ← 4 778.25 m →
22 835 319 m²		 S 12.082296°
E 12.172852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53375244140625 y=0.53375244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53375244140625 × 213)
    floor (0.53375244140625 × 8192)
    floor (4372.5)     		tx = 4372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.53375244140625 × 213)
    floor (0.53375244140625 × 8192)
    floor (4372.5)     		ty = 4372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4372 / 4372 ti = "13/4372/4372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4372/4372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4372 ÷ 213
    4372 ÷ 8192     		x = 0.53369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4372 ÷ 213
    4372 ÷ 8192     		y = 0.53369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53369140625 × 2 - 1) × π
    0.0673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.21168935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53369140625 × 2 - 1) × π
    -0.0673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.211689348722168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21168935} λ = 0.21168935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.211689348722168))-π/2
    2×atan(0.809216042521814)-π/2
    2×0.680335271684346-π/2
    1.36067054336869-1.57079632675     		φ = -0.21012578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21168935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.128906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21012578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.039320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4372 KachelY 4372 0.21168935 -0.21012578 12.128906 -12.039320
    Oben rechts KachelX + 1 4373 KachelY 4372 0.21245634 -0.21012578 12.172852 -12.039320
    Unten links KachelX 4372 KachelY + 1 4373 0.21168935 -0.21087584 12.128906 -12.082296
    Unten rechts KachelX + 1 4373 KachelY + 1 4373 0.21245634 -0.21087584 12.172852 -12.082296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21012578--0.21087584) × R
    0.000750059999999997 × 6371000     		dl = 4778.63225999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21012578--0.21087584) × R
    0.000750059999999997 × 6371000     		dr = 4778.63225999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21168935-0.21245634) × cos(-0.21012578) × R
    0.000766989999999995 × 0.978004686901493 × 6371000     		do = 4779.01334013266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21168935-0.21245634) × cos(-0.21087584) × R
    0.000766989999999995 × 0.977847962107176 × 6371000     		du = 4778.24750547686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21012578)-sin(-0.21087584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978004686901493-0.977847962107176)×R²
    abs(0.21245634-0.21168935)×0.000156724794316609×R²
    0.000766989999999995×0.000156724794316609×6371000²
    0.000766989999999995×0.000156724794316609×40589641000000     		ar = 22835318.5676089m²