Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4383 / 4385
↖ ↑ ↗
← S 12.597455°
E 12.612305°		 ← 4 768.86 m → S 12.597455°
E 12.656250°		 →
↑
4 768.44 m
↓
↑
4 768.44 m
↓
S 12.640338°
E 12.612305°		 ← 4 768.06 m →
22 738 103 m²		 S 12.640338°
E 12.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53509521484375 y=0.53533935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53509521484375 × 213)
    floor (0.53509521484375 × 8192)
    floor (4383.5)     		tx = 4383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.53533935546875 × 213)
    floor (0.53533935546875 × 8192)
    floor (4385.5)     		ty = 4385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4383 / 4385 ti = "13/4383/4385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4383/4385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4383 ÷ 213
    4383 ÷ 8192     		x = 0.5350341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4385 ÷ 213
    4385 ÷ 8192     		y = 0.5352783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5350341796875 × 2 - 1) × π
    0.070068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.22012624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5352783203125 × 2 - 1) × π
    -0.070556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.22166022384314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22012624} λ = 0.22012624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.22166022384314))-π/2
    2×atan(0.801187542516333)-π/2
    2×0.675464634160785-π/2
    1.35092926832157-1.57079632675     		φ = -0.21986706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22012624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.612305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21986706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.597455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4383 KachelY 4385 0.22012624 -0.21986706 12.612305 -12.597455
    Oben rechts KachelX + 1 4384 KachelY 4385 0.22089323 -0.21986706 12.656250 -12.597455
    Unten links KachelX 4383 KachelY + 1 4386 0.22012624 -0.22061552 12.612305 -12.640338
    Unten rechts KachelX + 1 4384 KachelY + 1 4386 0.22089323 -0.22061552 12.656250 -12.640338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21986706--0.22061552) × R
    0.000748460000000006 × 6371000     		dl = 4768.43866000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21986706--0.22061552) × R
    0.000748460000000006 × 6371000     		dr = 4768.43866000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22012624-0.22089323) × cos(-0.21986706) × R
    0.000766989999999995 × 0.975926452153073 × 6371000     		do = 4768.85805997947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22012624-0.22089323) × cos(-0.22061552) × R
    0.000766989999999995 × 0.975762939774864 × 6371000     		du = 4768.05905784052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21986706)-sin(-0.22061552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975926452153073-0.975762939774864)×R²
    abs(0.22089323-0.22012624)×0.00016351237820933×R²
    0.000766989999999995×0.00016351237820933×6371000²
    0.000766989999999995×0.00016351237820933×40589641000000     		ar = 22738103.2023907m²