Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4392 / 4392
↖ ↑ ↗
← S 12.897489°
E 13.007813°		 ← 4 763.21 m → S 12.897489°
E 13.051758°		 →
↑
4 762.83 m
↓
↑
4 762.83 m
↓
S 12.940322°
E 13.007813°		 ← 4 762.40 m →
22 684 435 m²		 S 12.940322°
E 13.051758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53619384765625 y=0.53619384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53619384765625 × 213)
    floor (0.53619384765625 × 8192)
    floor (4392.5)     		tx = 4392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.53619384765625 × 213)
    floor (0.53619384765625 × 8192)
    floor (4392.5)     		ty = 4392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4392 / 4392 ti = "13/4392/4392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4392/4392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4392 ÷ 213
    4392 ÷ 8192     		x = 0.5361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4392 ÷ 213
    4392 ÷ 8192     		y = 0.5361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5361328125 × 2 - 1) × π
    0.072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22702916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5361328125 × 2 - 1) × π
    -0.072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.227029156600586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22702916} λ = 0.22702916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.227029156600586))-π/2
    2×atan(0.796897547127923)-π/2
    2×0.672846337652163-π/2
    1.34569267530433-1.57079632675     		φ = -0.22510365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22702916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.22510365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.897489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4392 KachelY 4392 0.22702916 -0.22510365 13.007813 -12.897489
    Oben rechts KachelX + 1 4393 KachelY 4392 0.22779615 -0.22510365 13.051758 -12.897489
    Unten links KachelX 4392 KachelY + 1 4393 0.22702916 -0.22585123 13.007813 -12.940322
    Unten rechts KachelX + 1 4393 KachelY + 1 4393 0.22779615 -0.22585123 13.051758 -12.940322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.22510365--0.22585123) × R
    0.000747579999999998 × 6371000     		dl = 4762.83217999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.22510365--0.22585123) × R
    0.000747579999999998 × 6371000     		dr = 4762.83217999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22702916-0.22779615) × cos(-0.22510365) × R
    0.000766989999999995 × 0.974770976858286 × 6371000     		do = 4763.21183770473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22702916-0.22779615) × cos(-0.22585123) × R
    0.000766989999999995 × 0.974603839099006 × 6371000     		du = 4762.3951201655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.22510365)-sin(-0.22585123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974770976858286-0.974603839099006)×R²
    abs(0.22779615-0.22702916)×0.000167137759279568×R²
    0.000766989999999995×0.000167137759279568×6371000²
    0.000766989999999995×0.000167137759279568×40589641000000     		ar = 22684434.7329698m²