Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4420 / 4420
↖ ↑ ↗
← S 14.093957°
E 14.238281°		 ← 4 739.40 m → S 14.093957°
E 14.282227°		 →
↑
4 738.94 m
↓
↑
4 738.94 m
↓
S 14.136576°
E 14.238281°		 ← 4 738.51 m →
22 457 631 m²		 S 14.136576°
E 14.282227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53961181640625 y=0.53961181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53961181640625 × 213)
    floor (0.53961181640625 × 8192)
    floor (4420.5)     		tx = 4420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.53961181640625 × 213)
    floor (0.53961181640625 × 8192)
    floor (4420.5)     		ty = 4420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4420 / 4420 ti = "13/4420/4420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4420/4420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4420 ÷ 213
    4420 ÷ 8192     		x = 0.53955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4420 ÷ 213
    4420 ÷ 8192     		y = 0.53955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53955078125 × 2 - 1) × π
    0.0791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24850489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53955078125 × 2 - 1) × π
    -0.0791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.248504887630371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24850489} λ = 0.24850489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.248504887630371))-π/2
    2×atan(0.779966048640069)-π/2
    2×0.662405184706728-π/2
    1.32481036941346-1.57079632675     		φ = -0.24598596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24850489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.24598596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -14.093957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4420 KachelY 4420 0.24850489 -0.24598596 14.238281 -14.093957
    Oben rechts KachelX + 1 4421 KachelY 4420 0.24927188 -0.24598596 14.282227 -14.093957
    Unten links KachelX 4420 KachelY + 1 4421 0.24850489 -0.24672979 14.238281 -14.136576
    Unten rechts KachelX + 1 4421 KachelY + 1 4421 0.24927188 -0.24672979 14.282227 -14.136576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.24598596--0.24672979) × R
    0.000743830000000001 × 6371000     		dl = 4738.94093000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.24598596--0.24672979) × R
    0.000743830000000001 × 6371000     		dr = 4738.94093000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24850489-0.24927188) × cos(-0.24598596) × R
    0.000766989999999995 × 0.96989770263388 × 6371000     		do = 4739.39861590684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24850489-0.24927188) × cos(-0.24672979) × R
    0.000766989999999995 × 0.969716302267609 × 6371000     		du = 4738.51220423425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.24598596)-sin(-0.24672979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96989770263388-0.969716302267609)×R²
    abs(0.24927188-0.24850489)×0.000181400366271012×R²
    0.000766989999999995×0.000181400366271012×6371000²
    0.000766989999999995×0.000181400366271012×40589641000000     		ar = 22457630.7936806m²