Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 447 / 703
↖ ↑ ↗
← S 55.578345°
W 22.851562°		 ← 22.098 km → S 55.578345°
W 22.500000°		 →
↑
22.042 km
↓
↑
22.042 km
↓
S 55.776573°
W 22.851562°		 ← 21.986 km →
485.849 km²		 S 55.776573°
W 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43701171875 y=0.68701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43701171875 × 210)
    floor (0.43701171875 × 1024)
    floor (447.5)     		tx = 447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68701171875 × 210)
    floor (0.68701171875 × 1024)
    floor (703.5)     		ty = 703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 447 / 703 ti = "10/447/703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/447/703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 447 ÷ 210
    447 ÷ 1024     		x = 0.4365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 703 ÷ 210
    703 ÷ 1024     		y = 0.6865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4365234375 × 2 - 1) × π
    -0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6865234375 × 2 - 1) × π
    -0.373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17196132191113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39883500} λ = -0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17196132191113))-π/2
    2×atan(0.309758808350242)-π/2
    2×0.300385609738003-π/2
    0.600771219476006-1.57079632675     		φ = -0.97002511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97002511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.578345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 447 KachelY 703 -0.39883500 -0.97002511 -22.851562 -55.578345
    Oben rechts KachelX + 1 448 KachelY 703 -0.39269908 -0.97002511 -22.500000 -55.578345
    Unten links KachelX 447 KachelY + 1 704 -0.39883500 -0.97348484 -22.851562 -55.776573
    Unten rechts KachelX + 1 448 KachelY + 1 704 -0.39269908 -0.97348484 -22.500000 -55.776573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97002511--0.97348484) × R
    0.00345972999999999 × 6371000     		dl = 22041.93983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97002511--0.97348484) × R
    0.00345972999999999 × 6371000     		dr = 22041.93983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39883500--0.39269908) × cos(-0.97002511) × R
    0.00613592000000002 × 0.56527881810188 × 6371000     		do = 22097.8492130718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39883500--0.39269908) × cos(-0.97348484) × R
    0.00613592000000002 × 0.562421509722991 × 6371000     		du = 21986.1514673046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97002511)-sin(-0.97348484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56527881810188-0.562421509722991)×R²
    abs(-0.39269908--0.39883500)×0.00285730837888931×R²
    0.00613592000000002×0.00285730837888931×6371000²
    0.00613592000000002×0.00285730837888931×40589641000000     		ar = 485848929.854784m²