Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 447 / 705
↖ ↑ ↗
← S 55.973798°
W 22.851562°		 ← 21.875 km → S 55.973798°
W 22.500000°		 →
↑
21.819 km
↓
↑
21.819 km
↓
S 56.170023°
W 22.851562°		 ← 21.764 km →
476.078 km²		 S 56.170023°
W 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43701171875 y=0.68896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43701171875 × 210)
    floor (0.43701171875 × 1024)
    floor (447.5)     		tx = 447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68896484375 × 210)
    floor (0.68896484375 × 1024)
    floor (705.5)     		ty = 705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 447 / 705 ti = "10/447/705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/447/705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 447 ÷ 210
    447 ÷ 1024     		x = 0.4365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 705 ÷ 210
    705 ÷ 1024     		y = 0.6884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4365234375 × 2 - 1) × π
    -0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6884765625 × 2 - 1) × π
    -0.376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.18423316821387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39883500} λ = -0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18423316821387))-π/2
    2×atan(0.305980725304736)-π/2
    2×0.296934626644179-π/2
    0.593869253288358-1.57079632675     		φ = -0.97692707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97692707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.973798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 447 KachelY 705 -0.39883500 -0.97692707 -22.851562 -55.973798
    Oben rechts KachelX + 1 448 KachelY 705 -0.39269908 -0.97692707 -22.500000 -55.973798
    Unten links KachelX 447 KachelY + 1 706 -0.39883500 -0.98035184 -22.851562 -56.170023
    Unten rechts KachelX + 1 448 KachelY + 1 706 -0.39269908 -0.98035184 -22.500000 -56.170023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97692707--0.98035184) × R
    0.00342476999999997 × 6371000     		dl = 21819.2096699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97692707--0.98035184) × R
    0.00342476999999997 × 6371000     		dr = 21819.2096699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39883500--0.39269908) × cos(-0.97692707) × R
    0.00613592000000002 × 0.559571973082755 × 6371000     		do = 21874.7575339276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39883500--0.39269908) × cos(-0.98035184) × R
    0.00613592000000002 × 0.556730310100116 × 6371000     		du = 21763.6713971507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97692707)-sin(-0.98035184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559571973082755-0.556730310100116)×R²
    abs(-0.39269908--0.39883500)×0.0028416629826391×R²
    0.00613592000000002×0.0028416629826391×6371000²
    0.00613592000000002×0.0028416629826391×40589641000000     		ar = 476078480.587414m²