Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 456 / 712
↖ ↑ ↗
← S 57.326521°
W 19.687500°		 ← 21.104 km → S 57.326521°
W 19.335937°		 →
↑
21.049 km
↓
↑
21.049 km
↓
S 57.515823°
W 19.687500°		 ← 20.995 km →
443.078 km²		 S 57.515823°
W 19.335937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44580078125 y=0.69580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44580078125 × 210)
    floor (0.44580078125 × 1024)
    floor (456.5)     		tx = 456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69580078125 × 210)
    floor (0.69580078125 × 1024)
    floor (712.5)     		ty = 712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 456 / 712 ti = "10/456/712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/456/712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 456 ÷ 210
    456 ÷ 1024     		x = 0.4453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 712 ÷ 210
    712 ÷ 1024     		y = 0.6953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4453125 × 2 - 1) × π
    -0.109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6953125 × 2 - 1) × π
    -0.390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.22718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34361170} λ = -0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.22718463027344))-π/2
    2×atan(0.293116648843543)-π/2
    2×0.28512989135969-π/2
    0.57025978271938-1.57079632675     		φ = -1.00053654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.00053654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.326521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 456 KachelY 712 -0.34361170 -1.00053654 -19.687500 -57.326521
    Oben rechts KachelX + 1 457 KachelY 712 -0.33747577 -1.00053654 -19.335937 -57.326521
    Unten links KachelX 456 KachelY + 1 713 -0.34361170 -1.00384048 -19.687500 -57.515823
    Unten rechts KachelX + 1 457 KachelY + 1 713 -0.33747577 -1.00384048 -19.335937 -57.515823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.00053654--1.00384048) × R
    0.00330394000000012 × 6371000     		dl = 21049.4017400007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.00053654--1.00384048) × R
    0.00330394000000012 × 6371000     		dr = 21049.4017400007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34361170--0.33747577) × cos(-1.00053654) × R
    0.00613593000000001 × 0.539850745277805 × 6371000     		do = 21103.850749103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34361170--0.33747577) × cos(-1.00384048) × R
    0.00613593000000001 × 0.537066676792603 × 6371000     		du = 20995.0159159552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.00053654)-sin(-1.00384048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539850745277805-0.537066676792603)×R²
    abs(-0.33747577--0.34361170)×0.00278406848520218×R²
    0.00613593000000001×0.00278406848520218×6371000²
    0.00613593000000001×0.00278406848520218×40589641000000     		ar = 443078381.670202m²