Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4608 / 4606
↖ ↑ ↗
← S 21.861499°
E 22.500000°		 ← 4 535.09 m → S 21.861499°
E 22.543945°		 →
↑
4 534.43 m
↓
↑
4 534.43 m
↓
S 21.902278°
E 22.500000°		 ← 4 533.79 m →
20 561 116 m²		 S 21.902278°
E 22.543945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56256103515625 y=0.56231689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56256103515625 × 213)
    floor (0.56256103515625 × 8192)
    floor (4608.5)     		tx = 4608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.56231689453125 × 213)
    floor (0.56231689453125 × 8192)
    floor (4606.5)     		ty = 4606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4608 / 4606 ti = "13/4608/4606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4608/4606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4608 ÷ 213
    4608 ÷ 8192     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4606 ÷ 213
    4606 ÷ 8192     		y = 0.562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562255859375 × 2 - 1) × π
    -0.12451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.391165100899658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.391165100899658))-π/2
    2×atan(0.676268494284998)-π/2
    2×0.594620597234949-π/2
    1.1892411944699-1.57079632675     		φ = -0.38155513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38155513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.861499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4608 KachelY 4606 0.39269908 -0.38155513 22.500000 -21.861499
    Oben rechts KachelX + 1 4609 KachelY 4606 0.39346607 -0.38155513 22.543945 -21.861499
    Unten links KachelX 4608 KachelY + 1 4607 0.39269908 -0.38226686 22.500000 -21.902278
    Unten rechts KachelX + 1 4609 KachelY + 1 4607 0.39346607 -0.38226686 22.543945 -21.902278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38155513--0.38226686) × R
    0.000711729999999966 × 6371000     		dl = 4534.43182999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38155513--0.38226686) × R
    0.000711729999999966 × 6371000     		dr = 4534.43182999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.39346607) × cos(-0.38155513) × R
    0.000766990000000023 × 0.928086683304752 × 6371000     		do = 4535.08935050716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.39346607) × cos(-0.38226686) × R
    0.000766990000000023 × 0.927821425479114 × 6371000     		du = 4533.79316992206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38155513)-sin(-0.38226686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928086683304752-0.927821425479114)×R²
    abs(0.39346607-0.39269908)×0.000265257825638132×R²
    0.000766990000000023×0.000265257825638132×6371000²
    0.000766990000000023×0.000265257825638132×40589641000000     		ar = 20561115.6495351m²