Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4609 / 5633
↖ ↑ ↗
← S 55.801281°
E 22.543945°		 ← 2 746.53 m → S 55.801281°
E 22.587890°		 →
↑
2 745.65 m
↓
↑
2 745.65 m
↓
S 55.825973°
E 22.543945°		 ← 2 744.78 m →
7 538 598 m²		 S 55.825973°
E 22.587890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56268310546875 y=0.68768310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56268310546875 × 213)
    floor (0.56268310546875 × 8192)
    floor (4609.5)     		tx = 4609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.68768310546875 × 213)
    floor (0.68768310546875 × 8192)
    floor (5633.5)     		ty = 5633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4609 / 5633 ti = "13/4609/5633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4609/5633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4609 ÷ 213
    4609 ÷ 8192     		x = 0.5626220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5633 ÷ 213
    5633 ÷ 8192     		y = 0.6876220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5626220703125 × 2 - 1) × π
    0.125244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39346607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6876220703125 × 2 - 1) × π
    -0.375244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17886423545642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39346607} λ = 0.39346607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17886423545642))-π/2
    2×atan(0.307627933161293)-π/2
    2×0.298440123518139-π/2
    0.596880247036277-1.57079632675     		φ = -0.97391608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39346607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.543945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97391608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.801281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4609 KachelY 5633 0.39346607 -0.97391608 22.543945 -55.801281
    Oben rechts KachelX + 1 4610 KachelY 5633 0.39423306 -0.97391608 22.587890 -55.801281
    Unten links KachelX 4609 KachelY + 1 5634 0.39346607 -0.97434704 22.543945 -55.825973
    Unten rechts KachelX + 1 4610 KachelY + 1 5634 0.39423306 -0.97434704 22.587890 -55.825973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97391608--0.97434704) × R
    0.000430960000000091 × 6371000     		dl = 2745.64616000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97391608--0.97434704) × R
    0.000430960000000091 × 6371000     		dr = 2745.64616000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39346607-0.39423306) × cos(-0.97391608) × R
    0.000766990000000023 × 0.562064886351038 × 6371000     		do = 2746.52629569904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39346607-0.39423306) × cos(-0.97434704) × R
    0.000766990000000023 × 0.561708390106942 × 6371000     		du = 2744.78427919436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97391608)-sin(-0.97434704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562064886351038-0.561708390106942)×R²
    abs(0.39423306-0.39346607)×0.00035649624409595×R²
    0.000766990000000023×0.00035649624409595×6371000²
    0.000766990000000023×0.00035649624409595×40589641000000     		ar = 7538598.0133373m²