Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 47 / 49
↖ ↑ ↗
← S 68.656555°
E 84.375000°		 ← 227.645 km → S 68.656555°
E 90.000000°		 →
↑
217.504 km
↓
↑
217.504 km
↓
S 70.612614°
E 84.375000°		 ← 207.627 km →
47 341.3 km²		 S 70.612614°
E 90.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7421875 y=0.7734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7421875 × 26)
    floor (0.7421875 × 64)
    floor (47.5)     		tx = 47
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7734375 × 26)
    floor (0.7734375 × 64)
    floor (49.5)     		ty = 49
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 47 / 49 ti = "6/47/49"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/47/49.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47 ÷ 26
    47 ÷ 64     		x = 0.734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49 ÷ 26
    49 ÷ 64     		y = 0.765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.734375 × 2 - 1) × π
    0.46875 × 3.1415926535     		Λ = 1.47262156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765625 × 2 - 1) × π
    -0.53125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66897109717187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47262156} λ = 1.47262156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66897109717187))-π/2
    2×atan(0.188440853254186)-π/2
    2×0.186256694625859-π/2
    0.372513389251717-1.57079632675     		φ = -1.19828294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47262156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19828294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.656555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47 KachelY 49 1.47262156 -1.19828294 84.375000 -68.656555
    Oben rechts KachelX + 1 48 KachelY 49 1.57079633 -1.19828294 90.000000 -68.656555
    Unten links KachelX 47 KachelY + 1 50 1.47262156 -1.23242261 84.375000 -70.612614
    Unten rechts KachelX + 1 48 KachelY + 1 50 1.57079633 -1.23242261 90.000000 -70.612614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19828294--1.23242261) × R
    0.0341396700000001 × 6371000     		dl = 217503.83757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19828294--1.23242261) × R
    0.0341396700000001 × 6371000     		dr = 217503.83757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47262156-1.57079633) × cos(-1.19828294) × R
    0.09817477 × 0.363957586554578 × 6371000     		do = 227645.082920262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47262156-1.57079633) × cos(-1.23242261) × R
    0.09817477 × 0.331953465734817 × 6371000     		du = 207627.418755671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19828294)-sin(-1.23242261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363957586554578-0.331953465734817)×R²
    abs(1.57079633-1.47262156)×0.0320041208197611×R²
    0.09817477×0.0320041208197611×6371000²
    0.09817477×0.0320041208197611×40589641000000     		ar = 47341317933.7652m²