Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4738 / 4738
↖ ↑ ↗
← S 27.137368°
E 28.212890°		 ← 4 348.57 m → S 27.137368°
E 28.256836°		 →
↑
4 347.83 m
↓
↑
4 347.83 m
↓
S 27.176469°
E 28.212890°		 ← 4 347.04 m →
18 903 498 m²		 S 27.176469°
E 28.256836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57843017578125 y=0.57843017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57843017578125 × 213)
    floor (0.57843017578125 × 8192)
    floor (4738.5)     		tx = 4738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57843017578125 × 213)
    floor (0.57843017578125 × 8192)
    floor (4738.5)     		ty = 4738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4738 / 4738 ti = "13/4738/4738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4738/4738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4738 ÷ 213
    4738 ÷ 8192     		x = 0.578369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4738 ÷ 213
    4738 ÷ 8192     		y = 0.578369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578369140625 × 2 - 1) × π
    0.15673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49240783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578369140625 × 2 - 1) × π
    -0.15673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.492407832897217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49240783} λ = 0.49240783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.492407832897217))-π/2
    2×atan(0.611153066673841)-π/2
    2×0.548579949301228-π/2
    1.09715989860246-1.57079632675     		φ = -0.47363643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49240783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.212890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47363643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.137368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4738 KachelY 4738 0.49240783 -0.47363643 28.212890 -27.137368
    Oben rechts KachelX + 1 4739 KachelY 4738 0.49317482 -0.47363643 28.256836 -27.137368
    Unten links KachelX 4738 KachelY + 1 4739 0.49240783 -0.47431887 28.212890 -27.176469
    Unten rechts KachelX + 1 4739 KachelY + 1 4739 0.49317482 -0.47431887 28.256836 -27.176469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47363643--0.47431887) × R
    0.000682440000000006 × 6371000     		dl = 4347.82524000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47363643--0.47431887) × R
    0.000682440000000006 × 6371000     		dr = 4347.82524000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49240783-0.49317482) × cos(-0.47363643) × R
    0.000766990000000023 × 0.889915507675197 × 6371000     		do = 4348.56615692192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49240783-0.49317482) × cos(-0.47431887) × R
    0.000766990000000023 × 0.889604022247239 × 6371000     		du = 4347.04408546827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47363643)-sin(-0.47431887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889915507675197-0.889604022247239)×R²
    abs(0.49317482-0.49240783)×0.000311485427957559×R²
    0.000766990000000023×0.000311485427957559×6371000²
    0.000766990000000023×0.000311485427957559×40589641000000     		ar = 18903497.5781858m²