Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 481 / 479
↖ ↑ ↗
← N 11.523088°
W 10.898438°		 ← 38.304 km → N 11.523088°
W 10.546875°		 →
↑
38.327 km
↓
↑
38.327 km
↓
N 11.178402°
W 10.898438°		 ← 38.350 km →
1 468.98 km²		 N 11.178402°
W 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47021484375 y=0.46826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47021484375 × 210)
    floor (0.47021484375 × 1024)
    floor (481.5)     		tx = 481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46826171875 × 210)
    floor (0.46826171875 × 1024)
    floor (479.5)     		ty = 479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 481 / 479 ti = "10/481/479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/481/479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 481 ÷ 210
    481 ÷ 1024     		x = 0.4697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 479 ÷ 210
    479 ÷ 1024     		y = 0.4677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4697265625 × 2 - 1) × π
    -0.060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19021362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4677734375 × 2 - 1) × π
    0.064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.202485463995117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19021362} λ = -0.19021362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202485463995117))-π/2
    2×atan(1.2244422864935)-π/2
    2×0.885956071889753-π/2
    1.77191214377951-1.57079632675     		φ = 0.20111582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19021362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20111582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.523088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 481 KachelY 479 -0.19021362 0.20111582 -10.898438 11.523088
    Oben rechts KachelX + 1 482 KachelY 479 -0.18407769 0.20111582 -10.546875 11.523088
    Unten links KachelX 481 KachelY + 1 480 -0.19021362 0.19509992 -10.898438 11.178402
    Unten rechts KachelX + 1 482 KachelY + 1 480 -0.18407769 0.19509992 -10.546875 11.178402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20111582-0.19509992) × R
    0.00601589999999999 × 6371000     		dl = 38327.2988999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20111582-0.19509992) × R
    0.00601589999999999 × 6371000     		dr = 38327.2988999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19021362--0.18407769) × cos(0.20111582) × R
    0.00613593000000001 × 0.979844288556578 × 6371000     		do = 38304.082756092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19021362--0.18407769) × cos(0.19509992) × R
    0.00613593000000001 × 0.981028303500043 × 6371000     		du = 38350.3682801376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20111582)-sin(0.19509992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979844288556578-0.981028303500043)×R²
    abs(-0.18407769--0.19021362)×0.00118401494346521×R²
    0.00613593000000001×0.00118401494346521×6371000²
    0.00613593000000001×0.00118401494346521×40589641000000     		ar = 1468983458.78133m²