Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 481 / 481
↖ ↑ ↗
← N 10.833306°
W 10.898438°		 ← 38.395 km → N 10.833306°
W 10.546875°		 →
↑
38.417 km
↓
↑
38.417 km
↓
N 10.487812°
W 10.898438°		 ← 38.439 km →
1 475.88 km²		 N 10.487812°
W 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47021484375 y=0.47021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47021484375 × 210)
    floor (0.47021484375 × 1024)
    floor (481.5)     		tx = 481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47021484375 × 210)
    floor (0.47021484375 × 1024)
    floor (481.5)     		ty = 481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 481 / 481 ti = "10/481/481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/481/481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 481 ÷ 210
    481 ÷ 1024     		x = 0.4697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 481 ÷ 210
    481 ÷ 1024     		y = 0.4697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4697265625 × 2 - 1) × π
    -0.060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19021362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4697265625 × 2 - 1) × π
    0.060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.190213617692383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19021362} λ = -0.19021362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.190213617692383))-π/2
    2×atan(1.20950794235833)-π/2
    2×0.879936592540061-π/2
    1.75987318508012-1.57079632675     		φ = 0.18907686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19021362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18907686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.833306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 481 KachelY 481 -0.19021362 0.18907686 -10.898438 10.833306
    Oben rechts KachelX + 1 482 KachelY 481 -0.18407769 0.18907686 -10.546875 10.833306
    Unten links KachelX 481 KachelY + 1 482 -0.19021362 0.18304685 -10.898438 10.487812
    Unten rechts KachelX + 1 482 KachelY + 1 482 -0.18407769 0.18304685 -10.546875 10.487812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18907686-0.18304685) × R
    0.00603001 × 6371000     		dl = 38417.19371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18907686-0.18304685) × R
    0.00603001 × 6371000     		dr = 38417.19371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19021362--0.18407769) × cos(0.18907686) × R
    0.00613593000000001 × 0.982178159866999 × 6371000     		do = 38395.3184767677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19021362--0.18407769) × cos(0.18304685) × R
    0.00613593000000001 × 0.983293650724252 × 6371000     		du = 38438.9252565478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18907686)-sin(0.18304685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982178159866999-0.983293650724252)×R²
    abs(-0.18407769--0.19021362)×0.00111549085725271×R²
    0.00613593000000001×0.00111549085725271×6371000²
    0.00613593000000001×0.00111549085725271×40589641000000     		ar = 1475882484.58423m²