Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4864 / 3841
↖ ↑ ↗
← N 11.135287°
E 33.750000°		 ← 4 794.50 m → N 11.135287°
E 33.793945°		 →
↑
4 794.81 m
↓
↑
4 794.81 m
↓
N 11.092166°
E 33.750000°		 ← 4 795.21 m →
22 990 438 m²		 N 11.092166°
E 33.793945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59381103515625 y=0.46893310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59381103515625 × 213)
    floor (0.59381103515625 × 8192)
    floor (4864.5)     		tx = 4864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46893310546875 × 213)
    floor (0.46893310546875 × 8192)
    floor (3841.5)     		ty = 3841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4864 / 3841 ti = "13/4864/3841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4864/3841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4864 ÷ 213
    4864 ÷ 8192     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3841 ÷ 213
    3841 ÷ 8192     		y = 0.4688720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4688720703125 × 2 - 1) × π
    0.062255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.195582550449829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.195582550449829))-π/2
    2×atan(1.21601917270867)-π/2
    2×0.882571874719392-π/2
    1.76514374943878-1.57079632675     		φ = 0.19434742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19434742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.135287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4864 KachelY 3841 0.58904862 0.19434742 33.750000 11.135287
    Oben rechts KachelX + 1 4865 KachelY 3841 0.58981561 0.19434742 33.793945 11.135287
    Unten links KachelX 4864 KachelY + 1 3842 0.58904862 0.19359482 33.750000 11.092166
    Unten rechts KachelX + 1 4865 KachelY + 1 3842 0.58981561 0.19359482 33.793945 11.092166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19434742-0.19359482) × R
    0.000752599999999992 × 6371000     		dl = 4794.81459999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19434742-0.19359482) × R
    0.000752599999999992 × 6371000     		dr = 4794.81459999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.58981561) × cos(0.19434742) × R
    0.000766990000000023 × 0.981173908811193 × 6371000     		do = 4794.49972172911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.58981561) × cos(0.19359482) × R
    0.000766990000000023 × 0.981318977765296 × 6371000     		du = 4795.20860019992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19434742)-sin(0.19359482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981173908811193-0.981318977765296)×R²
    abs(0.58981561-0.58904862)×0.000145068954102934×R²
    0.000766990000000023×0.000145068954102934×6371000²
    0.000766990000000023×0.000145068954102934×40589641000000     		ar = 22990437.8210243m²