Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48640 / 50688
↖ ↑ ↗
← S 69.657086°
E 87.187500°		 ← 212.36 m → S 69.657086°
E 87.192993°		 →
↑
212.35 m
↓
↑
212.35 m
↓
S 69.658996°
E 87.187500°		 ← 212.34 m →
45 091 m²		 S 69.658996°
E 87.192993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742195129394531 y=0.773445129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742195129394531 × 216)
    floor (0.742195129394531 × 65536)
    floor (48640.5)     		tx = 48640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773445129394531 × 216)
    floor (0.773445129394531 × 65536)
    floor (50688.5)     		ty = 50688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48640 / 50688 ti = "16/48640/50688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48640/50688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48640 ÷ 216
    48640 ÷ 65536     		x = 0.7421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50688 ÷ 216
    50688 ÷ 65536     		y = 0.7734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7421875 × 2 - 1) × π
    0.484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52170894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7734375 × 2 - 1) × π
    -0.546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52170894} λ = 1.52170894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71805848238281))-π/2
    2×atan(0.179414145704914)-π/2
    2×0.177525412001084-π/2
    0.355050824002167-1.57079632675     		φ = -1.21574550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52170894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21574550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.657086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48640 KachelY 50688 1.52170894 -1.21574550 87.187500 -69.657086
    Oben rechts KachelX + 1 48641 KachelY 50688 1.52180482 -1.21574550 87.192993 -69.657086
    Unten links KachelX 48640 KachelY + 1 50689 1.52170894 -1.21577883 87.187500 -69.658996
    Unten rechts KachelX + 1 48641 KachelY + 1 50689 1.52180482 -1.21577883 87.192993 -69.658996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21574550--1.21577883) × R
    3.33300000001646e-05 × 6371000     		dl = 212.345430001049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21574550--1.21577883) × R
    3.33300000001646e-05 × 6371000     		dr = 212.345430001049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52170894-1.52180482) × cos(-1.21574550) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.347638022352561 × 6371000     		do = 212.355200458687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52170894-1.52180482) × cos(-1.21577883) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.347606770990878 × 6371000     		du = 212.336110518152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21574550)-sin(-1.21577883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347638022352561-0.347606770990878)×R²
    abs(1.52180482-1.52170894)×3.12513616820276e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.12513616820276e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.12513616820276e-05×40589641000000     		ar = 45090.6295275896m²