Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4872 / 3848
↖ ↑ ↗
← N 10.833306°
E 34.101563°		 ← 4 799.41 m → N 10.833306°
E 34.145508°		 →
↑
4 799.78 m
↓
↑
4 799.78 m
↓
N 10.790141°
E 34.101563°		 ← 4 800.10 m →
23 037 775 m²		 N 10.790141°
E 34.145508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59478759765625 y=0.46978759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59478759765625 × 213)
    floor (0.59478759765625 × 8192)
    floor (4872.5)     		tx = 4872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46978759765625 × 213)
    floor (0.46978759765625 × 8192)
    floor (3848.5)     		ty = 3848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4872 / 3848 ti = "13/4872/3848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4872/3848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4872 ÷ 213
    4872 ÷ 8192     		x = 0.5947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3848 ÷ 213
    3848 ÷ 8192     		y = 0.4697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5947265625 × 2 - 1) × π
    0.189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59518455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4697265625 × 2 - 1) × π
    0.060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.190213617692383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59518455} λ = 0.59518455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.190213617692383))-π/2
    2×atan(1.20950794235833)-π/2
    2×0.879936592540061-π/2
    1.75987318508012-1.57079632675     		φ = 0.18907686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59518455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18907686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.833306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4872 KachelY 3848 0.59518455 0.18907686 34.101563 10.833306
    Oben rechts KachelX + 1 4873 KachelY 3848 0.59595154 0.18907686 34.145508 10.833306
    Unten links KachelX 4872 KachelY + 1 3849 0.59518455 0.18832348 34.101563 10.790141
    Unten rechts KachelX + 1 4873 KachelY + 1 3849 0.59595154 0.18832348 34.145508 10.790141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18907686-0.18832348) × R
    0.000753380000000026 × 6371000     		dl = 4799.78398000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18907686-0.18832348) × R
    0.000753380000000026 × 6371000     		dr = 4799.78398000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59518455-0.59595154) × cos(0.18907686) × R
    0.000766989999999912 × 0.982178159866999 × 6371000     		do = 4799.40698777409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59518455-0.59595154) × cos(0.18832348) × R
    0.000766989999999912 × 0.982319480614742 × 6371000     		du = 4800.09755065967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18907686)-sin(0.18832348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982178159866999-0.982319480614742)×R²
    abs(0.59595154-0.59518455)×0.000141320747742757×R²
    0.000766989999999912×0.000141320747742757×6371000²
    0.000766989999999912×0.000141320747742757×40589641000000     		ar = 23037775.1394074m²