Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4880 / 3856
↖ ↑ ↗
← N 10.487812°
E 34.453125°		 ← 4 804.86 m → N 10.487812°
E 34.497070°		 →
↑
4 805.20 m
↓
↑
4 805.20 m
↓
N 10.444598°
E 34.453125°		 ← 4 805.53 m →
23 089 909 m²		 N 10.444598°
E 34.497070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59576416015625 y=0.47076416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59576416015625 × 213)
    floor (0.59576416015625 × 8192)
    floor (4880.5)     		tx = 4880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47076416015625 × 213)
    floor (0.47076416015625 × 8192)
    floor (3856.5)     		ty = 3856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4880 / 3856 ti = "13/4880/3856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4880/3856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4880 ÷ 213
    4880 ÷ 8192     		x = 0.595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3856 ÷ 213
    3856 ÷ 8192     		y = 0.470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595703125 × 2 - 1) × π
    0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470703125 × 2 - 1) × π
    0.05859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.184077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60132047} λ = 0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.184077694541016))-π/2
    2×atan(1.20210921679201)-π/2
    2×0.876921587730698-π/2
    1.7538431754614-1.57079632675     		φ = 0.18304685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18304685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.487812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4880 KachelY 3856 0.60132047 0.18304685 34.453125 10.487812
    Oben rechts KachelX + 1 4881 KachelY 3856 0.60208746 0.18304685 34.497070 10.487812
    Unten links KachelX 4880 KachelY + 1 3857 0.60132047 0.18229262 34.453125 10.444598
    Unten rechts KachelX + 1 4881 KachelY + 1 3857 0.60208746 0.18229262 34.497070 10.444598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18304685-0.18229262) × R
    0.000754230000000022 × 6371000     		dl = 4805.19933000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18304685-0.18229262) × R
    0.000754230000000022 × 6371000     		dr = 4805.19933000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60132047-0.60208746) × cos(0.18304685) × R
    0.000766990000000023 × 0.983293650724252 × 6371000     		do = 4804.8578263638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60132047-0.60208746) × cos(0.18229262) × R
    0.000766990000000023 × 0.983430660774588 × 6371000     		du = 4805.52732505543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18304685)-sin(0.18229262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983293650724252-0.983430660774588)×R²
    abs(0.60208746-0.60132047)×0.000137010050336284×R²
    0.000766990000000023×0.000137010050336284×6371000²
    0.000766990000000023×0.000137010050336284×40589641000000     		ar = 23089909.2399043m²