Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4896 / 4896
↖ ↑ ↗
← S 33.137551°
E 35.156250°		 ← 4 091.76 m → S 33.137551°
E 35.200196°		 →
↑
4 090.95 m
↓
↑
4 090.95 m
↓
S 33.174342°
E 35.156250°		 ← 4 090.04 m →
16 735 650 m²		 S 33.174342°
E 35.200196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59771728515625 y=0.59771728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59771728515625 × 213)
    floor (0.59771728515625 × 8192)
    floor (4896.5)     		tx = 4896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59771728515625 × 213)
    floor (0.59771728515625 × 8192)
    floor (4896.5)     		ty = 4896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4896 / 4896 ti = "13/4896/4896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4896/4896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4896 ÷ 213
    4896 ÷ 8192     		x = 0.59765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4896 ÷ 213
    4896 ÷ 8192     		y = 0.59765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59765625 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59765625 × 2 - 1) × π
    -0.1953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61359232} λ = 0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.613592315136719))-π/2
    2×atan(0.541402483226244)-π/2
    2×0.496218476227484-π/2
    0.992436952454969-1.57079632675     		φ = -0.57835937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57835937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.137551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4896 KachelY 4896 0.61359232 -0.57835937 35.156250 -33.137551
    Oben rechts KachelX + 1 4897 KachelY 4896 0.61435931 -0.57835937 35.200196 -33.137551
    Unten links KachelX 4896 KachelY + 1 4897 0.61359232 -0.57900149 35.156250 -33.174342
    Unten rechts KachelX + 1 4897 KachelY + 1 4897 0.61435931 -0.57900149 35.200196 -33.174342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57835937--0.57900149) × R
    0.000642119999999968 × 6371000     		dl = 4090.9465199998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57835937--0.57900149) × R
    0.000642119999999968 × 6371000     		dr = 4090.9465199998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61359232-0.61435931) × cos(-0.57835937) × R
    0.000766990000000023 × 0.837360628284139 × 6371000     		do = 4091.75709142075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61359232-0.61435931) × cos(-0.57900149) × R
    0.000766990000000023 × 0.837009440219494 × 6371000     		du = 4090.04101329934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57835937)-sin(-0.57900149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837360628284139-0.837009440219494)×R²
    abs(0.61435931-0.61359232)×0.000351188064645402×R²
    0.000766990000000023×0.000351188064645402×6371000²
    0.000766990000000023×0.000351188064645402×40589641000000     		ar = 16735649.8169571m²