Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49151 / 49151
↖ ↑ ↗
← S 66.511071°
E 89.994507°		 ← 243.47 m → S 66.511071°
E 90.000000°		 →
↑
243.44 m
↓
↑
243.44 m
↓
S 66.513260°
E 89.994507°		 ← 243.45 m →
59 266 m²		 S 66.513260°
E 90.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.749992370605469 y=0.749992370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.749992370605469 × 216)
    floor (0.749992370605469 × 65536)
    floor (49151.5)     		tx = 49151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749992370605469 × 216)
    floor (0.749992370605469 × 65536)
    floor (49151.5)     		ty = 49151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49151 / 49151 ti = "16/49151/49151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49151/49151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49151 ÷ 216
    49151 ÷ 65536     		x = 0.749984741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49151 ÷ 216
    49151 ÷ 65536     		y = 0.749984741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.749984741210938 × 2 - 1) × π
    0.499969482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.57070045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749984741210938 × 2 - 1) × π
    -0.499969482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.57070045295076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57070045} λ = 1.57070045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57070045295076))-π/2
    2×atan(0.207899507520288)-π/2
    2×0.204979573381268-π/2
    0.409959146762536-1.57079632675     		φ = -1.16083718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57070045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.994507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16083718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.511071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49151 KachelY 49151 1.57070045 -1.16083718 89.994507 -66.511071
    Oben rechts KachelX + 1 49152 KachelY 49151 1.57079633 -1.16083718 90.000000 -66.511071
    Unten links KachelX 49151 KachelY + 1 49152 1.57070045 -1.16087539 89.994507 -66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 49152 KachelY + 1 49152 1.57079633 -1.16087539 90.000000 -66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16083718--1.16087539) × R
    3.82100000000385e-05 × 6371000     		dl = 243.435910000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16083718--1.16087539) × R
    3.82100000000385e-05 × 6371000     		dr = 243.435910000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57070045-1.57079633) × cos(-1.16083718) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.398571860326718 × 6371000     		do = 243.468210767333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57070045-1.57079633) × cos(-1.16087539) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 243.446804027111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16083718)-sin(-1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398571860326718-0.398536816226928)×R²
    abs(1.57079633-1.57070045)×3.50440997899382e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.50440997899382e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.50440997899382e-05×40589641000000     		ar = 59266.2998670246m²