Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49162 / 49162
↖ ↑ ↗
← S 66.535143°
E 90.054931°		 ← 243.23 m → S 66.535143°
E 90.060425°		 →
↑
243.18 m
↓
↑
243.18 m
↓
S 66.537330°
E 90.054931°		 ← 243.21 m →
59 147 m²		 S 66.537330°
E 90.060425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.750160217285156 y=0.750160217285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.750160217285156 × 216)
    floor (0.750160217285156 × 65536)
    floor (49162.5)     		tx = 49162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750160217285156 × 216)
    floor (0.750160217285156 × 65536)
    floor (49162.5)     		ty = 49162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49162 / 49162 ti = "16/49162/49162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49162/49162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49162 ÷ 216
    49162 ÷ 65536     		x = 0.750152587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49162 ÷ 216
    49162 ÷ 65536     		y = 0.750152587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.750152587890625 × 2 - 1) × π
    0.50030517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57175506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750152587890625 × 2 - 1) × π
    -0.50030517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5717550647424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57175506} λ = 1.57175506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5717550647424))-π/2
    2×atan(0.207680369821092)-π/2
    2×0.204769505703195-π/2
    0.40953901140639-1.57079632675     		φ = -1.16125732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57175506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.054931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16125732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.535143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49162 KachelY 49162 1.57175506 -1.16125732 90.054931 -66.535143
    Oben rechts KachelX + 1 49163 KachelY 49162 1.57185094 -1.16125732 90.060425 -66.535143
    Unten links KachelX 49162 KachelY + 1 49163 1.57175506 -1.16129549 90.054931 -66.537330
    Unten rechts KachelX + 1 49163 KachelY + 1 49163 1.57185094 -1.16129549 90.060425 -66.537330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16125732--1.16129549) × R
    3.81700000000595e-05 × 6371000     		dl = 243.181070000379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16125732--1.16129549) × R
    3.81700000000595e-05 × 6371000     		dr = 243.181070000379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57175506-1.57185094) × cos(-1.16125732) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.398186499176643 × 6371000     		do = 243.232812337912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57175506-1.57185094) × cos(-1.16129549) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.398151485374522 × 6371000     		du = 243.211424105066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16125732)-sin(-1.16129549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398186499176643-0.398151485374522)×R²
    abs(1.57185094-1.57175506)×3.50138021210644e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.50138021210644e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.50138021210644e-05×40589641000000     		ar = 59147.014964098m²