Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49408 / 49408
↖ ↑ ↗
← S 67.067433°
E 91.406250°		 ← 237.99 m → S 67.067433°
E 91.411743°		 →
↑
238.02 m
↓
↑
238.02 m
↓
S 67.069574°
E 91.406250°		 ← 237.97 m →
56 644 m²		 S 67.069574°
E 91.411743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.753913879394531 y=0.753913879394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.753913879394531 × 216)
    floor (0.753913879394531 × 65536)
    floor (49408.5)     		tx = 49408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753913879394531 × 216)
    floor (0.753913879394531 × 65536)
    floor (49408.5)     		ty = 49408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49408 / 49408 ti = "16/49408/49408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49408/49408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49408 ÷ 216
    49408 ÷ 65536     		x = 0.75390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49408 ÷ 216
    49408 ÷ 65536     		y = 0.75390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75390625 × 2 - 1) × π
    0.5078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.59534002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75390625 × 2 - 1) × π
    -0.5078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59534001935547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59534002} λ = 1.59534002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59534001935547))-π/2
    2×atan(0.202839547403583)-π/2
    2×0.200124396987206-π/2
    0.400248793974412-1.57079632675     		φ = -1.17054753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59534002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17054753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.067433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49408 KachelY 49408 1.59534002 -1.17054753 91.406250 -67.067433
    Oben rechts KachelX + 1 49409 KachelY 49408 1.59543589 -1.17054753 91.411743 -67.067433
    Unten links KachelX 49408 KachelY + 1 49409 1.59534002 -1.17058489 91.406250 -67.069574
    Unten rechts KachelX + 1 49409 KachelY + 1 49409 1.59543589 -1.17058489 91.411743 -67.069574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17054753--1.17058489) × R
    3.73600000000973e-05 × 6371000     		dl = 238.02056000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17054753--1.17058489) × R
    3.73600000000973e-05 × 6371000     		dr = 238.02056000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59534002-1.59543589) × cos(-1.17054753) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389647487277031 × 6371000     		do = 237.991919840036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59534002-1.59543589) × cos(-1.17058489) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389613079787101 × 6371000     		du = 237.970904165991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17054753)-sin(-1.17058489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389647487277031-0.389613079787101)×R²
    abs(1.59543589-1.59534002)×3.4407489929833e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.4407489929833e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.4407489929833e-05×40589641000000     		ar = 56644.4689611916m²