Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49424 / 49424
↖ ↑ ↗
← S 67.101655°
E 91.494141°		 ← 237.66 m → S 67.101655°
E 91.499634°		 →
↑
237.70 m
↓
↑
237.70 m
↓
S 67.103793°
E 91.494141°		 ← 237.63 m →
56 489 m²		 S 67.103793°
E 91.499634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.754158020019531 y=0.754158020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.754158020019531 × 216)
    floor (0.754158020019531 × 65536)
    floor (49424.5)     		tx = 49424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754158020019531 × 216)
    floor (0.754158020019531 × 65536)
    floor (49424.5)     		ty = 49424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49424 / 49424 ti = "16/49424/49424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49424/49424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49424 ÷ 216
    49424 ÷ 65536     		x = 0.754150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49424 ÷ 216
    49424 ÷ 65536     		y = 0.754150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.754150390625 × 2 - 1) × π
    0.50830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.59687400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754150390625 × 2 - 1) × π
    -0.50830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59687400014331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59687400} λ = 1.59687400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59687400014331))-π/2
    2×atan(0.20252863396344)-π/2
    2×0.199825752130835-π/2
    0.39965150426167-1.57079632675     		φ = -1.17114482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59687400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.494141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17114482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.101655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49424 KachelY 49424 1.59687400 -1.17114482 91.494141 -67.101655
    Oben rechts KachelX + 1 49425 KachelY 49424 1.59696987 -1.17114482 91.499634 -67.101655
    Unten links KachelX 49424 KachelY + 1 49425 1.59687400 -1.17118213 91.494141 -67.103793
    Unten rechts KachelX + 1 49425 KachelY + 1 49425 1.59696987 -1.17118213 91.499634 -67.103793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17114482--1.17118213) × R
    3.73099999999571e-05 × 6371000     		dl = 237.702009999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17114482--1.17118213) × R
    3.73099999999571e-05 × 6371000     		dr = 237.702009999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59687400-1.59696987) × cos(-1.17114482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389097335170307 × 6371000     		do = 237.655893661609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59687400-1.59696987) × cos(-1.17118213) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38906296505257 × 6371000     		du = 237.634900814042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17114482)-sin(-1.17118213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389097335170307-0.38906296505257)×R²
    abs(1.59696987-1.59687400)×3.43701177370481e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.43701177370481e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43701177370481e-05×40589641000000     		ar = 56488.7885970768m²